Para cada sequência verifique se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. E mais, determine quais são limitadas e quais convergem?
a_{n}=\cos \left(\frac{n \pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede, para a sequência dada, que verifiquemos três coisas:
  • se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona;
  • se é limitada;
  • se converge.
A sequência fornecida é
a_{n}=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right),
onde n é o índice inteiro positivo (aqui vou assumir n\in\mathbb{N} e n\ge 1). Informação útil que o enunciado dá diretamente:
  • a regra que gera cada termo é \displaystyle a_{n}=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos explícitos para ver o padrão (cada passo com explicação do valor do cosseno em ângulos notáveis):
\begin{aligned} a_{1}&=\cos\!\left(\frac{1\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\\[4pt] a_{2}&=\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\\[4pt] a_{3}&=\cos\!\left(\frac{3\pi}{3}\right)=\cos(\pi)=-1,\\[4pt] a_{4}&=\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\\[4pt] a_{5}&=\cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\\[4pt] a_{6}&=\cos\!\left(\frac{6\pi}{3}\right)=\cos(2\pi)=1. \end{aligned}
Repare que esses seis valores formam uma sequência que volta a repetir: para qualquer n vale
a_{n+6}=\cos\!\left(\frac{(n+6)\pi}{3}\right) =\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}+2\pi\right) =\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)=a_n,
pois o cosseno tem período 2\pi. Portanto a sequência é periódica de período 6.]

Passo 3

Definição/princípio para monotonicidade (mini-aula):
  • A sequência \{a_n\} é crescente se, para todo n, a_{n+1}\ge a_n (estritamente crescente se >).
  • É decrescente se, para todo n, a_{n+1}\le a_n (estritamente decrescente se <).
  • Se existem índices em que a desigualdade vai em sentidos diferentes (às vezes sobe, às vezes desce), dizemos que a sequência não é monótona.
Aplicando isso aos valores que calculamos:
  • Entre n=1 e n=2: a_{1}=\tfrac{1}{2} e a_{2}=-\tfrac{1}{2}, então a_{2}<a_{1} (há uma descida).
  • Entre n=5 e n=6: a_{5}=\tfrac{1}{2} e a_{6}=1, então a_{6}>a_{5} (há uma subida).
Como ocorrem tanto subidas quanto descidas, a sequência não é crescente nem decrescente. Além disso, por ser periódica (os padrões de subida e descida se repetem infinitamente), ela também não é eventualmente monótona — ou seja, não se torna monótona a partir de algum N.

Passo 4

Mini-aula sobre limites e limite de funções trigonométricas: o cosseno tem valores sempre no intervalo fechado [-1,1]. Isso vem da definição geométrica/analítica do cosseno.
Aplicando isso:
-1\le \cos(x)\le 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo para toda n vale -1\le a_n\le 1. Portanto a sequência é limitada. Mais precisamente, o supremo (maior valor) é 1 e o ínfimo (menor valor) é -1; esses extremos são atingidos nos termos que já vimos, por exemplo a_{6}=1 e a_{3}=-1.

Passo 5

Mini-aula sobre convergência de sequência e subsequências:
  • Se uma sequência \{a_n\} converge para um limite L, então qualquer subsequência também converge para o mesmo L.
  • Contrapositivo prático: se encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes, então a sequência original não converge.
Construamos duas subsequências usando a periodicidade de período 6:
  • Tome n=6k ( k\in\mathbb{N}). Então
a_{6k}=\cos\!\left(\frac{6k\pi}{3}\right)=\cos(2k\pi)=1
para todo k. Assim a subsequência \{a_{6k}\} é constante igual a 1 e converge para 1.
  • Tome n=3+6k ( k\in\mathbb{N}). Então
a_{3+6k}=\cos\!\left(\frac{(3+6k)\pi}{3}\right)=\cos(\pi+2k\pi)=\cos(\pi)=-1
para todo k. Assim a subsequência \{a_{3+6k}\} é constante igual a -1 e converge para -1.
Como existem duas subsequências que convergem para limites diferentes ( 1 e -1), a sequência inteira \{a_n\} não pode convergir. Portanto não há limite da sequência quando n\to\infty.

Passo 6

Resumo curto (para fixar a ideia):
  • a sequência é periódica de período 6 e assume os valores \{ \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -1, -\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 1\} repetidamente;
  • por causa das subidas e descidas repetidas, não é monótona;
  • por -1\le a_n\le 1 é limitada (com mín. -1 e máx. 1);
  • não converge porque tem subsequências com limites diferentes.

Resposta

A sequência não é monótona (não é crescente nem decrescente).\nA sequência é limitada: -1\le a_n\le 1 (mínimo -1, máximo 1).\nA sequência não converge.

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