Para cada sequência verifique se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. E mais, determine quais são limitadas e quais convergem?
.
Passo 1
O enunciado pede, para a sequência dada, que verifiquemos três coisas:
- se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona;
- se é limitada;
- se converge.
A sequência fornecida é
onde
é o índice inteiro positivo (aqui vou assumir
e
). Informação útil que o enunciado dá diretamente:
- a regra que gera cada termo é
.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos explícitos para ver o padrão (cada passo com explicação do valor do cosseno em ângulos notáveis):
Repare que esses seis valores formam uma sequência que volta a repetir: para qualquer
vale
pois o cosseno tem período
. Portanto a sequência é periódica de período
.]
Passo 3
Definição/princípio para monotonicidade (mini-aula):
- A sequência
é crescente se, para todo , (estritamente crescente se ). - É decrescente se, para todo
, (estritamente decrescente se ). - Se existem índices em que a desigualdade vai em sentidos diferentes (às vezes sobe, às vezes desce), dizemos que a sequência não é monótona.
Aplicando isso aos valores que calculamos:
- Entre
e : e , então (há uma descida). - Entre
e : e , então (há uma subida).
Como ocorrem tanto subidas quanto descidas, a sequência não é crescente nem decrescente. Além disso, por ser periódica (os padrões de subida e descida se repetem infinitamente), ela também não é eventualmente monótona — ou seja, não se torna monótona a partir de algum
.
Passo 4
Mini-aula sobre limites e limite de funções trigonométricas: o cosseno tem valores sempre no intervalo fechado
. Isso vem da definição geométrica/analítica do cosseno.
Aplicando isso:
logo para toda
vale
. Portanto a sequência é limitada. Mais precisamente, o supremo (maior valor) é
e o ínfimo (menor valor) é
; esses extremos são atingidos nos termos que já vimos, por exemplo
e
.
Passo 5
Mini-aula sobre convergência de sequência e subsequências:
- Se uma sequência
converge para um limite , então qualquer subsequência também converge para o mesmo . - Contrapositivo prático: se encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes, então a sequência original não converge.
Construamos duas subsequências usando a periodicidade de período
:
- Tome
( ). Então
para todo
. Assim a subsequência
é constante igual a
e converge para
.
- Tome
( ). Então
para todo
. Assim a subsequência
é constante igual a
e converge para
.
Como existem duas subsequências que convergem para limites diferentes (
e
), a sequência inteira
não pode convergir. Portanto não há limite da sequência quando
.
Passo 6
Resumo curto (para fixar a ideia):
- a sequência é periódica de período
e assume os valores repetidamente; - por causa das subidas e descidas repetidas, não é monótona;
- por
é limitada (com mín. e máx. ); - não converge porque tem subsequências com limites diferentes.
Resposta
A sequência não é monótona (não é crescente nem decrescente).\nA sequência é limitada:
(mínimo
, máximo
).\nA sequência não converge.