As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=\ell n(n+1)-\ell n(n).

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_{n}=\ell n(n+1)-\ell n(n)\; e pede para verificar se essa sequência converge e, caso sim, calcular o seu limite.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão envolve logaritmos (a notação \ell n indica o logaritmo natural, que vou escrever como \ln).
  • O índice é n e a sequência está definida para n\in\mathbb{N} (valores inteiros positivos).
    O que é pedido:
  • Determinar se \{a_n\} converge quando n\to\infty e, se convergir, calcular \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão usando uma propriedade básica dos logaritmos. Lembrete da propriedade (uma {\em aula curta} sobre ela): para quaisquer números positivos x e y,
\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).
Essa é uma identidade elementar dos logaritmos e é muito útil para simplificar diferenças como a que temos. Aplicando essa propriedade a \ln(n(n+1)) obtemos:
\ln(n(n+1))=\ln(n)+\ln(n+1).

Passo 3

Substituindo a identidade no termo a_n,
a_n=\ln(n(n+1))-\ln(n)=\bigl(\ln(n)+\ln(n+1)\bigr)-\ln(n).
Agora simplifico cancelando \ln(n):
a_n=\ln(n+1).
Portanto a sequência dada é exatamente \{a_n\}=\{\ln(n+1)\}_{n\ge1}.

Passo 4

Agora preciso estudar o comportamento da sequência \ln(n+1) quando n\to\infty. Vou usar duas ideias simples e didáticas:
  • A sequência n+1 tende a +\infty quando n\to\infty, isto é, \lim_{n\to\infty}(n+1)=+\infty. Isso é óbvio, pois n cresce sem limite.
  • A função \ln(x) é contínua e estritamente crescente para x>0, e não tem limite finito quando x\to+\infty: ela cresce sem limite (ou seja, \lim_{x\to\infty}\ln x=+\infty). Uma forma elementar de ver isso é usar a inversa: se \ln x fosse limitada por algum M, então x\le e^{M} para todo x, o que é absurdo porque x pode ser arbitrariamente grande.

Passo 5

Formalizando de maneira direta (útil para prova ou prova curta em prova): para mostrar que \ln(n+1)\to+\infty basta mostrar que, dado qualquer M>0, existe N tal que para todo n\ge N vale \ln(n+1)>M. Tomando exponencial em ambos os lados da desigualdade \ln(n+1)>M obtemos n+1> e^{M}. Basta então escolher
N=\lceil e^{M}\rceil
(o teto de e^{M}). Para esse N, se n\ge N então n+1\ge N+1> e^{M} e portanto \ln(n+1)>M. Como isso vale para qualquer M>0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\ln(n+1)=+\infty.

Passo 6

Conclusão: a sequência \{a_n\} não converge para um número real finito; ela diverge para +\infty. Em notação de limite,
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\ln(n+1)=+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados