As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se essa sequência converge e, caso sim, calcular o seu limite.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão envolve logaritmos (a notação
indica o logaritmo natural, que vou escrever como ). - O índice é
e a sequência está definida para (valores inteiros positivos).
O que é pedido: - Determinar se
converge quando e, se convergir, calcular .
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão usando uma propriedade básica dos logaritmos. Lembrete da propriedade (uma {\em aula curta} sobre ela): para quaisquer números positivos
e
,
Essa é uma identidade elementar dos logaritmos e é muito útil para simplificar diferenças como a que temos. Aplicando essa propriedade a
obtemos:
Passo 3
Substituindo a identidade no termo
,
Agora simplifico cancelando
:
Portanto a sequência dada é exatamente
.
Passo 4
Agora preciso estudar o comportamento da sequência
quando
. Vou usar duas ideias simples e didáticas:
- A sequência
tende a quando , isto é, . Isso é óbvio, pois cresce sem limite. - A função
é contínua e estritamente crescente para , e não tem limite finito quando : ela cresce sem limite (ou seja, ). Uma forma elementar de ver isso é usar a inversa: se fosse limitada por algum , então para todo , o que é absurdo porque pode ser arbitrariamente grande.
Passo 5
Formalizando de maneira direta (útil para prova ou prova curta em prova): para mostrar que
basta mostrar que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
vale
. Tomando exponencial em ambos os lados da desigualdade
obtemos
. Basta então escolher
(o teto de
). Para esse
, se
então
e portanto
. Como isso vale para qualquer
, concluímos que
Passo 6
Conclusão: a sequência
não converge para um número real finito; ela diverge para
. Em notação de limite,