As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=\frac{n^{3}+n^{2}}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{3}+n^{2}}{n^{2}}
e pede para calcular o limite quando n\to\infty. Ou seja: verificar se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite; caso contrário, descrever o comportamento (por exemplo, diverge para +\infty).

Passo 2

Primeiro passo prático (sempre faça isso numa prova): simplificar algebricamente a expressão de a_n dividindo numerador e denominador por n^{2}. Fazendo termo a termo:
\frac{n^{3}}{n^{2}}=n,\qquad \frac{n^{2}}{n^{2}}=1,
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a_{n}=n+1.

Passo 3

Vou lembrar uma propriedade útil sobre limites (essência do Teorema 1.8 que trata da álgebra de limites, explicado de maneira simples):
  • Se (b_{n}) converge para b e (c_{n}) converge para c, então (b_{n}+c_{n}) converge para b+c, (b_{n}c_{n}) converge para bc e, se c\neq0, \bigl(\tfrac{b_{n}}{c_{n}}\bigr) converge para \tfrac{b}{c}.
  • Essas regras valem quando os limites são números reais finitos. Se uma das sequências tende a +\infty (ou -\infty), então algumas combinações podem divergir e é preciso tratar o caso especial usando definições de limite infinito.
No nosso caso já simplificamos para a_{n}=n+1. A sequência básica (n) quando n\to\infty não converge para um número finito: ela cresce sem bound, isto é, tende a +\infty. Vou provar isso de forma elementar (definição de limite infinito), e em seguida concluir sobre a_n.

Passo 4

Prova de que n\to+\infty: por definição, dizemos que \lim_{n\to\infty} n = +\infty se, para todo M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale n>M.
Dado M>0, escolha N=\lceil M\rceil (o menor inteiro maior ou igual a M). Para todo n\ge N temos
n\ge N=\lceil M\rceil \ge M,
então n>M-0 (na prática n\ge M), o que mostra que os termos ficam acima de M a partir de N. Logo n\to+\infty.

Passo 5

Agora aplicar isso a a_{n}=n+1. Queremos mostrar que \lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty. Use a mesma ideia: dado M>0, escolha N=\lceil M\rceil. Então, para todo n\ge N,
a_{n}=n+1 \ge N+1 \ge M+1 > M.
Portanto, para qualquer M>0 existe N tal que a_{n}>M para todo n\ge N. Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty. Em palavras: os termos crescem sem limite e não se aproximam de nenhum número finito.

Passo 6

Complemento prático (dica de prova rápida na prova): sempre que aparecer uma fração de polinômios em n, uma inspeção pelo grau dos polinômios já dá a resposta sem muito trabalho:
  • se grau(numerador) = grau(denominador) então o limite é a razão dos coeficientes líderes;
  • se grau(numerador) < grau(denominador) então o limite é 0;
  • se grau(numerador) > grau(denominador) então a sequência diverge para +\infty ou -\infty conforme o sinal do termo dominante.
    Aqui o numerador tem grau 3 e o denominador grau 2, logo o comportamento dominante leva à divergência para +\infty; isso confirma o que já mostramos explicitamente.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty

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