As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para calcular o limite quando
. Ou seja: verificar se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite; caso contrário, descrever o comportamento (por exemplo, diverge para
).
Passo 2
Primeiro passo prático (sempre faça isso numa prova): simplificar algebricamente a expressão de
dividindo numerador e denominador por
. Fazendo termo a termo:
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Passo 3
Vou lembrar uma propriedade útil sobre limites (essência do Teorema 1.8 que trata da álgebra de limites, explicado de maneira simples):
- Se
converge para e converge para , então converge para , converge para e, se , converge para . - Essas regras valem quando os limites são números reais finitos. Se uma das sequências tende a
(ou ), então algumas combinações podem divergir e é preciso tratar o caso especial usando definições de limite infinito.
No nosso caso já simplificamos para
. A sequência básica
quando
não converge para um número finito: ela cresce sem bound, isto é, tende a
. Vou provar isso de forma elementar (definição de limite infinito), e em seguida concluir sobre
.
Passo 4
Prova de que
: por definição, dizemos que
se, para todo
, existe
tal que para todo
vale
.
Dado
, escolha
(o menor inteiro maior ou igual a
). Para todo
temos
então
(na prática
), o que mostra que os termos ficam acima de
a partir de
. Logo
.
Passo 5
Agora aplicar isso a
. Queremos mostrar que
. Use a mesma ideia: dado
, escolha
. Então, para todo
,
Portanto, para qualquer
existe
tal que
para todo
. Isso é exatamente a definição de
. Em palavras: os termos crescem sem limite e não se aproximam de nenhum número finito.
Passo 6
Complemento prático (dica de prova rápida na prova): sempre que aparecer uma fração de polinômios em
, uma inspeção pelo grau dos polinômios já dá a resposta sem muito trabalho:
- se grau(numerador) = grau(denominador) então o limite é a razão dos coeficientes líderes;
- se grau(numerador) < grau(denominador) então o limite é
; - se grau(numerador) > grau(denominador) então a sequência diverge para
ou conforme o sinal do termo dominante.
Aqui o numerador tem graue o denominador grau , logo o comportamento dominante leva à divergência para ; isso confirma o que já mostramos explicitamente.