As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=\cos \left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right).

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\cos\!\left(\dfrac{2 n \pi}{1+8 n}\right) e pede para calcular o seu limite quando n\to\infty.
Informações relevantes:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N}.
  • Queremos \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos primeiro estudar a parte interna do cosseno, ou seja a sequência
x_n=\frac{2 n \pi}{1+8 n}.
A estratégia é calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n usando propriedades algébricas de limites de sequência (soma, produto, quociente e limite de sequência constante).

Passo 3

Reescrevemos x_n dividindo numerador e denominador por n:
x_n=\frac{2\pi n}{1+8n}=\frac{2\pi}{\frac{1}{n}+8}.
Explicação passo a passo: dividir por n é uma operação algébrica válida que facilita ver o comportamento quando n\to\infty.

Passo 4

Agora usamos propriedades básicas de limite:
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. (Sequência harmônica tende a zero.)
  • Pelo teorema da soma de limites, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+8\right)=0+8=8.
  • Como o limite do denominador é 8\neq0, vale a propriedade do quociente: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi}{\frac{1}{n}+8}=\frac{2\pi}{8}.

Passo 5

Portanto
\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Agora voltamos ao a_n. Usamos que a função \cos é contínua em todo \mathbb{R}. A propriedade prática que usamos é: se \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=L e f é contínua em L, então \displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(L). Aplicando com f=\cos e L=\dfrac{\pi}{4},
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\cos(x_n)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 7

Recordando o valor trigonométrico conhecido,
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados