As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para calcular o seu limite quando
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A sequência é definida para
. - Queremos
.
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos primeiro estudar a parte interna do cosseno, ou seja a sequência
A estratégia é calcular
usando propriedades algébricas de limites de sequência (soma, produto, quociente e limite de sequência constante).
Passo 3
Reescrevemos
dividindo numerador e denominador por
:
Explicação passo a passo: dividir por
é uma operação algébrica válida que facilita ver o comportamento quando
.
Passo 4
Agora usamos propriedades básicas de limite:
-
. (Sequência harmônica tende a zero.) - Pelo teorema da soma de limites,
. - Como o limite do denominador é
, vale a propriedade do quociente: .
Passo 5
Portanto
Passo 6
Agora voltamos ao
. Usamos que a função
é contínua em todo
. A propriedade prática que usamos é: se
e
é contínua em
, então
. Aplicando com
e
,
Passo 7
Recordando o valor trigonométrico conhecido,