Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
\left(a_{n}\right)\ abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = n \,\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e pede para determinar se ela converge ou diverge, indicando o critério usado, e calcular o limite se existir. O conteúdo envolve limites de sequência e o limite fundamental \lim_{x\to0}\tfrac{\tan x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos a_n isolando a razão \tan(1/n) sobre 1/n:
a_{n} = n \,\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Usamos o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.
Como \tfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} =1.

Passo 4

Portanto a sequência converge pelo critério de limite de função composta (ou pelo critério de equivalência \tan x\sim x em 0) e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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