Um sequestrador exige como resgate um cubo de platina com 40 kg . Qual é o comprimento da aresta? (Dado: densidade da platina igual a 21,4 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento da aresta de um cubo de platina cujo resgate (ou seja, massa) é 40\\ \mathrm{kg}. As informações fornecidas são:
  • massa do cubo: m = 40\\ \mathrm{kg} (dado do enunciado);
  • densidade da platina: \rho = 21,4\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} (dado do enunciado).
A pergunta que vamos responder: qual é o comprimento da aresta a do cubo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): a densidade \rho é definida como a massa por unidade de volume. Em símbolos,
\rho = \frac{m}{V},
onde
  • \rho é a densidade (unidade \mathrm{kg/m^{3}}),
  • m é a massa (unidade \mathrm{kg}),
  • V é o volume (unidade \mathrm{m^{3}}).
Para um cubo de aresta a, o volume é muito simples:
V = a^{3}.
Portanto, combinando as duas fórmulas,
\rho = \frac{m}{a^{3}}.
Isolando a (porque é isso que o enunciado pede), obtemos a fórmula que aplicaremos na prova:
a = \sqrt[3]{\frac{m}{\rho}}.
Aqui \sqrt[3]{\cdot} significa a raiz cúbica.

Passo 3

Substituir os valores dados na fórmula. Primeiro escrevo a fração massa sobre densidade:
\frac{m}{\rho}=\frac{40}{21,4\times10^{3}}\\ \mathrm{m^{3}}.
Uma dica útil para calcular raízes cúbicas é separar a potência de 10:
\frac{40}{21,4\times10^{3}}=\frac{40}{21,4}\times10^{-3}.
Calculo a divisão numérica \dfrac{40}{21,4}. Fazendo a conta (divisão longa ou calculadora de bolso), obtém-se aproximadamente
\frac{40}{21,4}\approx1,86915888.
Logo
\frac{m}{\rho}\approx1,86915888\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Agora aplico a raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{1,86915888\times10^{-3}}.
Como a raiz cúbica distribui sobre produto, isto é
\sqrt[3]{X\times10^{k}}=\sqrt[3]{X}\times10^{k/3},
posso tratar separadamente a parte 10^{-3}. Como k=-3, tem-se 10^{k/3}=10^{-1}=0,1. Portanto
a=0,1\times\sqrt[3]{1,86915888}.

Passo 5

Estimativa da raiz cúbica de 1,86915888. Observações rápidas:
  • 1,23^{3}=1,860867 (cálculo direto de 1,23\cdot1,23\cdot1,23);
  • 1,24^{3}=1,906624.
O número 1,86915888 está entre 1,860867 e 1,906624, ou seja, a raiz cúbica está entre 1,23 e 1,24. Fazendo uma interpolação linear aproximada dentro desse intervalo:
\text{frac}=\frac{1,86915888-1,860867}{1,906624-1,860867}\approx\frac{0,008292}{0,045757}\approx0,181.
Portanto a raiz cúbica aproximada é
\sqrt[3]{1,86915888}\approx1,23+0,001\cdot0,181\approx1,23118\\ (\text{aprox. }1,2312).
Multiplicando pelo 0,1 que ficou fora:
a\approx0,1\times1,23118\approx0,123118\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Arredondando para uma boa apresentação (duas casas significativas adequadas para esse problema prático) e convertendo para centímetros (porque é mais intuitivo):
a\approx0,123\\ \mathrm{m}=12,3\\ \mathrm{cm}.
Pronto — é o comprimento da aresta do cubo de platina com 40\\ \mathrm{kg}.

Resposta

a\approx0,123\\ \mathrm{m}=12,3\\ \mathrm{cm}

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