- Um avião com velocidade
aterriza num porta-aviões com uma aceleração negativa
. Qual é o comprimento mínimo da pista?
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento mínimo da pista (distância de frenagem) necessária para que um avião que aterrissa com velocidade inicial
pare, quando a aceleração que atua é dependente do tempo e dada por
(com
).
Informações dadas e condições iniciais que vamos usar:
Informações dadas e condições iniciais que vamos usar:
- A aceleração é
para . - A velocidade inicial no instante
é . - A pista mínima é a distância percorrida desde
até o instante de parada , onde .
Nada mais é fornecido; a tarefa é encontrar a distância total percorrida até a parada em função dee .
Passo 2
Relembrando e explicando as ferramentas que vamos usar (aula rápida e prática):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
. Aqui isso significa que a variação instantânea de velocidade é dada por . - Para obter
a partir de integramos no tempo: a integral da aceleração entre e dá a variação de velocidade entre e . - A distância percorrida entre
e é a integral da velocidade: . Assim a pista mínima é . - Pequeno lembrete de integrais que vamos usar (sem jargão):
-
-
Vou aplicar essas integrais passo a passo para achar, depois (tempo de parada) e finalmente .
-
Passo 3
Encontrar
integrando a aceleração:
Integramos ambos os lados em relação a
desde
até
. Isso dá
Usando
e
, obtemos
Passo 4
Determinar o instante de parada
impondo
:
Isolando
vem
Agora elevando ambos os lados à potência
para achar
,
Comentário rápido para garantir que faz sentido:
aumenta com
e diminui com
, o que é intuitivo.
Passo 5
Calcular a distância total
percorrida até a parada: integrar
de
até
:
Separando as integrais:
Usando
, obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão usando a relação entre
e
. Observe que
Substituindo em
:
O fator
cancela no segundo termo e fazemos a conta dos coeficientes:
Logo
Passo 7
Substituir
em
:
Se desejar, essa expressão pode ser reescrita agrupando as potências:
mas a forma mais direta e memorável para usar na prova é a que envolve
e
como acima.