1. Um avião com velocidade v_{0} aterriza num porta-aviões com uma aceleração negativa a=-A \sqrt{t}. Qual é o comprimento mínimo da pista?
Resposta: d=\frac{3}{5}\left(\frac{3 v_{0}}{2 A}\right)^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento mínimo da pista (distância de frenagem) necessária para que um avião que aterrissa com velocidade inicial v_{0} pare, quando a aceleração que atua é dependente do tempo e dada por \,a(t)=-A\sqrt{t}\, (com A>0).
Informações dadas e condições iniciais que vamos usar:
  • A aceleração é \,a(t)=-A\sqrt{t}\, para t\ge 0.
  • A velocidade inicial no instante t=0 é \,v(0)=v_{0}\,.
  • A pista mínima é a distância percorrida desde t=0 até o instante de parada t=t_{f}, onde v(t_{f})=0.
    Nada mais é fornecido; a tarefa é encontrar a distância total percorrida até a parada em função de v_{0} e A.

Passo 2

Relembrando e explicando as ferramentas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}\,. Aqui isso significa que a variação instantânea de velocidade é dada por -A\sqrt{t}.
  • Para obter v(t) a partir de a(t) integramos no tempo: a integral da aceleração entre 0 e t dá a variação de velocidade entre 0 e t.
  • A distância percorrida entre 0 e t é a integral da velocidade: \,d(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau\,. Assim a pista mínima é d=d(t_{f}).
  • Pequeno lembrete de integrais que vamos usar (sem jargão):
    • \displaystyle \int \sqrt{t}\,dt = \int t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2}+C.
    • \displaystyle \int t^{3/2}\,dt = \frac{2}{5}t^{5/2}+C.
      Vou aplicar essas integrais passo a passo para achar v(t), depois t_{f} (tempo de parada) e finalmente d.

Passo 3

Encontrar v(t) integrando a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\sqrt{t}=-A t^{1/2}.
Integramos ambos os lados em relação a t desde 0 até t. Isso dá
v(t)-v(0)=\int_{0}^{t} a(\tau)\,d\tau = -A\int_{0}^{t} \tau^{1/2}\,d\tau.
Usando \displaystyle \int_{0}^{t}\tau^{1/2}d\tau=\frac{2}{3}t^{3/2} e v(0)=v_{0}, obtemos
v(t)=v_{0}-A\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}.

Passo 4

Determinar o instante de parada t_{f} impondo v(t_{f})=0:
0=v_{0}-\frac{2}{3}A t_{f}^{3/2}.
Isolando t_{f}^{3/2} vem
t_{f}^{3/2}=\frac{3v_{0}}{2A}.
Agora elevando ambos os lados à potência 2/3 para achar t_{f},
t_{f}=\left(\frac{3v_{0}}{2A}\right)^{\!2/3}.
Comentário rápido para garantir que faz sentido: t_{f} aumenta com v_{0} e diminui com A, o que é intuitivo.

Passo 5

Calcular a distância total d percorrida até a parada: integrar v(t) de 0 até t_{f}:
d=\int_{0}^{t_{f}} v(t)\,dt = \int_{0}^{t_{f}}\left(v_{0}-\frac{2}{3}A t^{3/2}\right)dt.
Separando as integrais:
d = v_{0}t_{f} - \frac{2}{3}A\int_{0}^{t_{f}} t^{3/2}\,dt.
Usando \displaystyle \int_{0}^{t_{f}} t^{3/2}dt=\frac{2}{5}t_{f}^{5/2}, obtemos
d = v_{0}t_{f} - \frac{2}{3}A\cdot\frac{2}{5}t_{f}^{5/2} = v_{0}t_{f} - \frac{4}{15}A t_{f}^{5/2}.

Passo 6

Simplificar a expressão usando a relação entre t_{f}^{3/2} e v_{0},A. Observe que
t_{f}^{5/2} = t_{f}^{3/2}\cdot t_{f} = \left(\frac{3v_{0}}{2A}\right)\! \cdot t_{f}.
Substituindo em d:
d = v_{0}t_{f} - \frac{4}{15}A\left(\frac{3v_{0}}{2A}\right)t_{f}.
O fator A cancela no segundo termo e fazemos a conta dos coeficientes:
\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.
Logo
d = v_{0}t_{f} - \frac{2}{5}v_{0}t_{f} = \frac{3}{5}v_{0}t_{f}.

Passo 7

Substituir t_{f}=\left(\dfrac{3v_{0}}{2A}\right)^{2/3} em d=\dfrac{3}{5}v_{0}t_{f}:
d=\frac{3}{5}v_{0}\left(\frac{3v_{0}}{2A}\right)^{\!2/3}.
Se desejar, essa expressão pode ser reescrita agrupando as potências:
d=\frac{3}{5}\left(\frac{3^{2/3}}{2^{2/3}}\right)v_{0}^{5/3}A^{-2/3},
mas a forma mais direta e memorável para usar na prova é a que envolve v_{0} e t_{f} como acima.

Resposta

d=\frac{3}{5}\,v_{0}\left(\frac{3v_{0}}{2A}\right)^{\!2/3}

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