Questão 2: [2,5 pts] Um cilindro oco de comprimento L, raio interno r_{a} e externo r_{b}, possui uma resistividade elétrica variável ao longo do seu raio dada por \rho_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{b^{2}}\right), onde \rho_{0} e b são constantes e r é a variável definida perpendicularmente ao eixo do cilindro. Determine a resistência elétrica do cilindro para um escoamento radial.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro oco (casca cilíndrica) com comprimento L, raio interno r_{a} e raio externo r_{b}. A resistividade elétrica varia com o raio segundo
\rho(r)=\rho_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{b^{2}}\right),
onde \rho_{0} e b são constantes. Pede-se a resistência elétrica do cilindro quando a corrente flui radialmente (isto é, do cilindro interno para o externo ou vice-versa).
Informações relevantes dadas:
  • Comprimento axial: L.
  • Raios: r_{a} (interno) e r_{b} (externo).
  • Resistividade dependente de r: \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r^{2}}{b^{2}}\right).
  • Sentido do escoamento: radial (perpendicular ao eixo), portanto a resistência total é obtida integrando resistências diferenciais em série ao longo de r de r_{a} até r_{b}.

Passo 2

Conceito chave e como vou aplicar: a resistência elétrica de um pequeno trecho de material homogêneo, de comprimento \ell na direção da corrente e área de seção transversal A perpendicular à corrente, é
R=\frac{\rho\,\ell}{A},
onde \rho é a resistividade local. Se \rho ou A variam com a posição na direção da corrente, divide-se o condutor em fatias diferenciais ao longo da direção do fluxo de corrente e soma-se (integra-se) as resistências diferenciais, pois essas fatias ficam em série.
No nosso problema a direção da corrente é radial, então a variável de integração é r e as fatias são cascas cilíndricas concêntricas de espessura dr.

Passo 3

Determinar a área transversal ao fluxo de corrente em uma casca de raio r. A corrente atravessa a casca no sentido radial; a área disponível para a corrente em uma casca elementar de espessura dr e comprimento axial L é a área lateral da casca:
A(r)=\text{circunferência}\times\text{comprimento}=2\pi r\,L.ê
Explicação intuitiva: para um fluxo radial, a “seção” através da qual as linhas de corrente passam em um círculo de raio r é justamente a superfície cilíndrica de raio r e comprimento L.

Passo 4

Escrever a resistência diferencial dR de uma casca de espessura dr e raio r. Usando d\ell=dr e A(r)=2\pi r L,
dR=\frac{\rho(r)\,dr}{A(r)}=\frac{\rho_{0}\left(1-\dfrac{r^{2}}{b^{2}}\right)\,dr}{2\pi r L}.

Passo 5

Somar (integrar) as resistências diferenciais de r=r_{a} até r=r_{b} para obter a resistência total R:
R=\int_{r_{a}}^{r_{b}} dR =\int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{\rho_{0}\left(1-\dfrac{r^{2}}{b^{2}}\right)}{2\pi r L}\,dr.
Fatorando constantes:
R=\frac{\rho_{0}}{2\pi L}\int_{r_{a}}^{r_{b}}\left(\frac{1}{r}-\frac{r}{b^{2}}\right)\,dr.

Passo 6

Calcular as integrais elementares separadamente. Sabendo que
\int\frac{1}{r}\,dr=\ln r,\qquad \int r\,dr=\frac{r^{2}}{2},
temos
\int_{r_{a}}^{r_{b}}\left(\frac{1}{r}-\frac{r}{b^{2}}\right)\,dr =\left[\ln r-\frac{r^{2}}{2b^{2}}\right]_{r_{a}}^{r_{b}} =\ln\!\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}\right)-\frac{r_{b}^{2}-r_{a}^{2}}{2b^{2}}.

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão para R obtemos a resistência total:
R=\frac{\rho_{0}}{2\pi L}\left[\ln\!\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}\right)-\frac{r_{b}^{2}-r_{a}^{2}}{2b^{2}}\right].
Comentário de verificação rápida: se b for muito grande (por exemplo b\to\infty), o termo com b^{2} tende a zero e recupera-se a fórmula esperada para resistividade praticamente constante \rho\approx\rho_{0}:
R\approx\frac{\rho_{0}}{2\pi L}\ln\!\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}\right),
o que faz sentido físico como checagem.

Resposta

R=\frac{\rho_{0}}{2\pi L}\left[\ln\!\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}\right)-\frac{r_{b}^{2}-r_{a}^{2}}{2b^{2}}\right]

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