Questão 2: [2,5 pts] Um cilindro oco de comprimento
, raio interno
e externo
, possui uma resistividade elétrica variável ao longo do seu raio dada por
, onde
e
são constantes e
é a variável definida perpendicularmente ao eixo do cilindro. Determine a resistência elétrica do cilindro para um escoamento radial.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro oco (casca cilíndrica) com comprimento
, raio interno
e raio externo
. A resistividade elétrica varia com o raio segundo
onde
e
são constantes. Pede-se a resistência elétrica do cilindro quando a corrente flui radialmente (isto é, do cilindro interno para o externo ou vice-versa).
Informações relevantes dadas:
- Comprimento axial:
. - Raios:
(interno) e (externo). - Resistividade dependente de
: . - Sentido do escoamento: radial (perpendicular ao eixo), portanto a resistência total é obtida integrando resistências diferenciais em série ao longo de
de até .
Passo 2
Conceito chave e como vou aplicar: a resistência elétrica de um pequeno trecho de material homogêneo, de comprimento
na direção da corrente e área de seção transversal
perpendicular à corrente, é
onde
é a resistividade local. Se
ou
variam com a posição na direção da corrente, divide-se o condutor em fatias diferenciais ao longo da direção do fluxo de corrente e soma-se (integra-se) as resistências diferenciais, pois essas fatias ficam em série.
No nosso problema a direção da corrente é radial, então a variável de integração é
e as fatias são cascas cilíndricas concêntricas de espessura
.
Passo 3
Determinar a área transversal ao fluxo de corrente em uma casca de raio
. A corrente atravessa a casca no sentido radial; a área disponível para a corrente em uma casca elementar de espessura
e comprimento axial
é a área lateral da casca:
Explicação intuitiva: para um fluxo radial, a “seção” através da qual as linhas de corrente passam em um círculo de raio
é justamente a superfície cilíndrica de raio
e comprimento
.
Passo 4
Escrever a resistência diferencial
de uma casca de espessura
e raio
. Usando
e
,
Passo 5
Somar (integrar) as resistências diferenciais de
até
para obter a resistência total
:
Fatorando constantes:
Passo 6
Calcular as integrais elementares separadamente. Sabendo que
temos
Passo 7
Substituindo o resultado da integral na expressão para
obtemos a resistência total:
Comentário de verificação rápida: se
for muito grande (por exemplo
), o termo com
tende a zero e recupera-se a fórmula esperada para resistividade praticamente constante
:
o que faz sentido físico como checagem.