Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros. (a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. (b) Calcula sua capacidade em litros. (1 litro equivale a 1 \mathrm{dm}^{3} ).

Passo 1

O enunciado dá uma caixa d’água em forma de cubo e diz que, ao serem retirados 128 litros de água, o nível baixa 20 centímetros. Pede:
(a) calcular o comprimento da aresta da caixa;
(b) calcular a capacidade da caixa em litros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{volume removido} = 128\\ \text{L},
\text{queda de nível} = 20\\ \text{cm}.í
Observação: vamos precisar fazer conversões de unidades (litros para \mathrm{dm}^3, centímetros para decímetros ou metros) para trabalhar com fórmulas de volume.

Passo 2

Entendendo o modelo geométrico: a caixa é um cubo, então se s é o comprimento da aresta (em uma unidade conveniente), o volume total da caixa é
V = s^3.
Quando a altura do líquido diminui uma quantidade \Delta h, o volume que saiu é a área da base multiplicada por essa queda:
\Delta V = \text{(área da base)} \cdot \Delta h = s^2 \cdot \Delta h.á
Explicando por que isso vale: a base do cubo é um quadrado de área s^2. Se a coluna de água baixa \Delta h, então o “pedaço” de água removido tem forma de paralelepípedo retangular com base s^2 e altura \Delta h, cujo volume é s^2\cdot\Delta h.

Passo 3

Fazer conversões de unidades para trabalhar com volumes em litros (lembrando que 1 litro =1\\ \mathrm{dm}^3):
128\\ \text{L} = 128\\ \mathrm{dm}^3.
Converter a queda de 20 centímetros para decímetros (porque \mathrm{dm}^3 combina bem com \mathrm{dm}):
10\\ \text{cm} = 1\\ \mathrm{dm}\quad\Rightarrow\quad 20\\ \text{cm} = 2\\ \mathrm{dm}.
Portanto, nos vamos usar \Delta V = 128\\ \mathrm{dm}^3 e \Delta h = 2\\ \mathrm{dm}.

Passo 4

Montar a equação usando \Delta V = s^2\cdot\Delta h:
s^2 \cdot 2 = 128.
Isolando s^2:
s^2 = \frac{128}{2} = 64.
Tomando a raiz quadrada (a aresta é tamanho positivo):
s = \sqrt{64} = 8\\ \mathrm{dm}.

Passo 5

Converter s para as unidades mais usuais pedidas (cm ou m). Sabendo que 1\\ \mathrm{dm}=10\\ \text{cm} e 1\\ \mathrm{m}=10\\ \mathrm{dm}:
8\\ \mathrm{dm} = 8\cdot 10\\ \text{cm} = 80\\ \text{cm},
8\\ \mathrm{dm} = \frac{8}{10}\\ \mathrm{m} = 0,8\\ \mathrm{m}.
Portanto a aresta vale 8\\ \mathrm{dm}, isto é, 80\\ \text{cm} ou 0,8\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a capacidade total da caixa (volume do cubo) em litros. Usamos s=8\\ \mathrm{dm}, então
V = s^3 = (8\\ \mathrm{dm})^3 = 8^3\\ \mathrm{dm}^3 = 512\\ \mathrm{dm}^3.
Como 1\\ \mathrm{dm}^3 = 1\\ \text{L}, a capacidade em litros é
512\\ \text{L}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio para levar pra prova: converta tudo para unidades compatíveis (aqui \mathrm{dm} e \mathrm{dm}^3), use \Delta V = \text{área da base}\times\Delta h = s^2\Delta há para achar s, e depois calcule s^3 para a capacidade. Se precisar, pratique com números menores para fixar a ideia — você já consegue aplicar esse passo a passo.

Resposta

(a) \text{aresta}=80\\ \text{cm}=0,8\\ \mathrm{m}=8\\ \mathrm{dm}
(b) \text{capacidade}=512\\ \text{L}

Exercícios relacionados