(SÉRIE DE DESCONTOS) Determinar o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3 \% ao mês, sabendo-se que todos são de mesmo valor, igual a R$13.000,00 cada um, e cujo desconto total é de R$ 12.012,00.

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de n títulos, cada um com valor nominal F = 13\,000, vencendo em intervalos de 30 dias (ou seja, 1 mês, 2 meses, \dots, n meses). A taxa de desconto simples comercial é d = 3{,}3\% = 0{,}033 ao mês. Sabemos que a soma de todos os descontos individuais é de 12\,012. Vamos usar a fórmula do desconto simples, que afirma que o desconto de um título vencendo em k meses é
D_k = F \cdot d \cdot k.

Passo 2

O desconto total D_{\text{total}} é a soma dos descontos de cada um dos n títulos:
D_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{n}D_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F\cdot d\cdot k\bigr) = F\cdot d\;\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},
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D_{\text{total}} = F \cdot d \cdot \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Substituindo F = 13\,000, d = 0{,}033 e D_{\text{total}} = 12\,012, obtemos
13\,000 \times 0{,}033 \times \frac{n(n+1)}{2} = 12\,012.
Calculamos 13\,000\times0{,}033 = 429, então
429\;\frac{n(n+1)}{2} = 12\,012 \quad\Longrightarrow\quad 429\,n(n+1) = 24\,024.

Passo 5

Isolando n(n+1):
n(n+1) = \frac{24\,024}{429} = 56.
Isso leva à equação quadrática
n^2 + n - 56 = 0.
O discriminante é \Delta = 1^2 + 4\cdot56 = 225 e \sqrt{\Delta} = 15. Assim,
n = \frac{-1 \pm 15}{2}.
A solução positiva é
n = \frac{-1 + 15}{2} = 7.

Resposta

7 títulos.

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