(SÉRIE DE DESCONTOS) Uma empresa apresenta 9 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8 \% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de negociação, e que o valor creditado a empresa foi de R$ 25.000,00, calcular o valor de cada título.

Passo 1

O enunciado dá nove títulos de mesmo valor nominal N, com vencimentos em 30, 60, ···, 270 dias (ou seja, em 1, 2, ···, 9 meses) a partir da data de negociação. A taxa de desconto comercial simples é de 2,8\% ao mês. O banco credita à empresa o valor presente total de R$ 25.000,00. Precisamos calcular o valor nominal N de cada título.

Passo 2

Em desconto comercial simples (ou “desconto bancário”), o valor presente PV_k de um título de valor nominal N com prazo de k meses é
PV_k = N \bigl(1 - i\,k\bigr)
onde i=2,8\%=0,028 é a taxa mensal de desconto.

Passo 3

O valor presente total PV_{\text{total}} é a soma dos PV_k para k=1 até 9:
PV_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{9} N\bigl(1 - i\,k\bigr) = N \sum_{k=1}^{9}\bigl(1 - i\,k\bigr) = N\Bigl(9 - i\sum_{k=1}^{9}k\Bigr).
Como \sum_{k=1}^{9}k = 45, segue
PV_{\text{total}} = N\bigl(9 - 45\,i\bigr).

Passo 4

Igualamos o valor presente total ao montante creditado de R$ 25.000,00:
N\bigl(9 - 45\,i\bigr) = 25000.

Passo 5

Substituindo i=0,028:
9 - 45\times0,028 = 9 - 1,26 = 7,74,
então
N = \frac{25000}{7,74}\approx 3231,56.

Resposta

Cada título tem valor nominal de aproximadamente R$ 3.231,56.

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