A Série de Fourier complexa de um função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, 2 \mathrm{~L} periódica, integrável e absolutamente integrável é dada por
S_{g}(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{\frac{|n \pi|}{L}}, x \in \mathbb{R}, \quad c_{n}=\frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} g(x) e^{\frac{-i n \pi x}{L}} d x
Em que os coeficientes c_{n} satisfazem as igualdades
c_{k}=\left(\frac{a_{k}}{2}+\frac{b_{k}}{2}\right) \quad \mathrm{e} \quad c_{-k}=\left(\frac{a_{k}}{2}-\frac{b_{k}}{2}\right), \quad \mathrm{k}=1,2,3, \ldots
Considere a função par f(x)=x^{2},-\pi \leq x \leq \pi e seja f_{E}:: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a sua extensão 2 \pi periodica.
(a) Determine a Série de Fourier complexa dessa função.
(b) Usando a Série de Fourier complexa do item (a), determine a Série de Fourier real da função f_{E}(x).
(c) Mediante o uso do Teorema da Convergência, aplicado à série do item (b) ou (a), obtenha a igualdade
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{4}\left[\pi^{2}-\frac{\pi^{2}}{3}\right]=\frac{\pi^{2}}{6}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para f(x)=x^{2} em [- \pi,\pi] com extensão 2\pi periódica f_{E}:
  • (a) Determinar a Série de Fourier complexa, isto é os coeficientes c_{n} e a série \displaystyle S_{f}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}.
  • (b) A partir da série complexa, obter a Série de Fourier real (forma com a_{0}/2+\sum a_{n}\cos(nx)+\sum b_{n}\sin(nx)).
  • (c) Usando o teorema de convergência da série de Fourier, conseguir a igualdade \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
Informações relevantes dadas / que vou usar (tudo que vem do enunciado e definições básicas):
  • A função considerada é f(x)=x^{2} para -\pi\le x\le\pi e estendida de forma 2\pi-periódica.
  • Fórmula dos coeficientes complexos (para período 2\pi):
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x}\,dx,\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Para função par como x^{2}, as partes ímpares (seno) desaparecem em integrais simétricas.

Passo 2

Cálculo dos coeficientes complexos c_{n}.
Primeiro, para n\in\mathbb{Z} vale
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2} e^{-i n x}\,dx.
Como x^{2} é função par, x^{2}\sin(nx) é ímpar e integra-se a zero em [-\pi,\pi]. Assim a parte imaginária da integral é zero e podemos escrever, para n\in\mathbb{Z},
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx.
Isso simplifica para
c_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx.
Vamos calcular I_{n}:=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx para n\ge 1 (o caso n\le -1 será igual por simetria, e n=0 tratamos separadamente).
Calcule I_{n} por partes duas vezes.
  1. Primeira integração por partes: tome u=x^{2}, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_{n}=\left.\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
O termo de fronteira é zero porque \sin(n\pi)=0 e \sin(0)=0. Logo
I_{n}=-\frac{2}{n}J_{n},\quad\text{onde }J_{n}:=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
  1. Segunda integração por partes para J_{n}: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Avalie os termos: \left.-\dfrac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=-\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A integral de \cos(nx) é \dfrac{\sin(nx)}{n}, que em 0 e \pi dá zero. Então
J_{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Voltando a I_{n}:
I_{n}=-\frac{2}{n}J_{n}=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Portanto, para n\ge 1,
c_{n}=\frac{1}{\pi}I_{n}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como x^{2} é real e par, os coeficientes satisfazem c_{-n}=c_{n}. Finalmente, para n=0 temos
c_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{\pi^{2}}{3}.
Resumo dos coeficientes:
c_{0}=\frac{\pi^{2}}{3},\qquad c_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\\ \text{para }n\neq 0.

Passo 3

Escrevendo a Série de Fourier complexa (item (a)) usando os coeficientes obtidos:
S_{f}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x} =\frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\,e^{i n x}.
Uma forma alternativa, agrupando termos positivos e negativos, é
S_{f}(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\bigl(e^{i n x}+e^{-i n x}\bigr).

Passo 4

Passagem para a Série de Fourier real (item (b)).
Use a identidade e^{i n x}+e^{-i n x}=2\cos(nx). Assim, a soma agrupada do passo anterior dá
S_{f}(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\cdot 2\cos(nx) =\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).
Como f é par, todos os coeficientes b_{n} (dos senos) são zero. Portanto a Série de Fourier real é
\boxed{\,x^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx),\quad -\pi\le x\le\pi\,}
(esta igualdade vale para todo x pela periodicidade; em pontos de descontinuidade da extensão a série converge para a média lateral, mas aqui a função é contínua em todos os pontos de interesse).

Passo 5

Derivação da soma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6} (item (c)) usando a série real.
Pelo teorema de convergência das séries de Fourier, em pontos onde f_{E} é contínua a soma da série é f_{E}(x). A função f_{E} é contínua em x=\pi (os valores à esquerda e à direita coincidem: f(\pi)=f(-\pi)=\pi^{2}), logo podemos substituir x=\pi na série:
No lado esquerdo x^{2} \pi^{2}. No lado direito, \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Logo
\pi^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(n\pi) =\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cdot(-1)^{n}.
Mas (-1)^{n}\cdot(-1)^{n}=1, então
\pi^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Isolando a soma,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}-\dfrac{\pi^{2}}{3}}{4} =\frac{1}{4}\left(\frac{2\pi^{2}}{3}\right)=\frac{\pi^{2}}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle c_{0}=\frac{\pi^{2}}{3},\quad c_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\\ \text{para }n\neq 0, portanto \displaystyle S_{f}(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}e^{i n x}.
(b) \displaystyle x^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).
(c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

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