A Série de Fourier complexa de um função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, 2 \mathrm{~L} periódica, integrável e absolutamente integrável é dada por
S_{g}(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{\frac{|n \pi|}{L}}, x \in \mathbb{R}, \quad c_{n}=\frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} g(x) e^{\frac{-i n \pi x}{L}} d x
Em que os coeficientes c_{n} satisfazem as igualdades
Considere a função par f(x)=x^{2},-\pi \leq x \leq \pi e seja f_{E}:: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a sua extensão 2 \pi periodica.
(a) Determine a Série de Fourier complexa dessa função.
(b) Usando a Série de Fourier complexa do item (a), determine a Série de Fourier real da função f_{E}(x).
(c) Mediante o uso do Teorema da Convergência, aplicado à série do item (b) ou (a), obtenha a igualdade
O enunciado pede três coisas para f(x)=x^{2} em [- \pi,\pi] com extensão 2\pi periódica f_{E}:
(a) Determinar a Série de Fourier complexa, isto é os coeficientes c_{n} e a série \displaystyle S_{f}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}.
(b) A partir da série complexa, obter a Série de Fourier real (forma com a_{0}/2+\sum a_{n}\cos(nx)+\sum b_{n}\sin(nx)).
(c) Usando o teorema de convergência da série de Fourier, conseguir a igualdade \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
Informações relevantes dadas / que vou usar (tudo que vem do enunciado e definições básicas):
A função considerada é f(x)=x^{2} para -\pi\le x\le\pi e estendida de forma 2\pi-periódica.
Fórmula dos coeficientes complexos (para período 2\pi):
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x}\,dx,\quad n\in\mathbb{Z}.
Para função par como x^{2}, as partes ímpares (seno) desaparecem em integrais simétricas.
Passo 2
Cálculo dos coeficientes complexos c_{n}.
Primeiro, para n\in\mathbb{Z} vale
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2} e^{-i n x}\,dx.
Como x^{2} é função par, x^{2}\sin(nx) é ímpar e integra-se a zero em [-\pi,\pi]. Assim a parte imaginária da integral é zero e podemos escrever, para n\in\mathbb{Z},
Avalie os termos: \left.-\dfrac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=-\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A integral de \cos(nx) é \dfrac{\sin(nx)}{n}, que em 0 e \pi dá zero. Então
(esta igualdade vale para todo x pela periodicidade; em pontos de descontinuidade da extensão a série converge para a média lateral, mas aqui a função é contínua em todos os pontos de interesse).
Passo 5
Derivação da soma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6} (item (c)) usando a série real.
Pelo teorema de convergência das séries de Fourier, em pontos onde f_{E} é contínua a soma da série é f_{E}(x). A função f_{E} é contínua em x=\pi (os valores à esquerda e à direita coincidem: f(\pi)=f(-\pi)=\pi^{2}), logo podemos substituir x=\pi na série:
No lado esquerdo x^{2} dá \pi^{2}. No lado direito, \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Logo