Determine os autovalores para o problema de Sturm Louville
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+2(\lambda+2) y=0 \\\ y(0)=0=y(2 \pi) \end{array}\right.
Bem como as autofunções associadas.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e as autofunções não-triviais do problema de valores de contorno
\begin{cases} y''-4y'+2(\lambda+2)y=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y(2\pi)=0. \end{cases}
As informações dadas são:
  • A equação diferencial linear com coeficientes constantes \,y''-4y'+(2\lambda+4)y=0.
  • Condições de contorno homogêneas em x=0 e x=2\pi.
    O objetivo é encontrar todos os valores de \lambda para os quais existe solução não-trivial y satisfeitas as duas condições, e escrever as autofunções correspondentes.]

Passo 2

Método geral (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes procura-se soluções da forma y(x)=e^{rx}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica (polinomial) para r. As raízes r determinam a forma geral da solução: raízes reais distintas dão combinações lineares de expoentes reais; raízes complexas conjugadas dão exponencial real vezes combinações seno/cosseno; raízes repetidas dão fatores polinomiais multiplicando a exponencial.
Aplicando isso aqui, a equação característica é
r^2-4r+(2\lambda+4)=0.
Resolvendo-a por fórmula de Bhaskara:
r=\frac{4\pm\sqrt{16-4(2\lambda+4)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-8\lambda}}{2}=2\pm\frac{1}{2}\sqrt{-8\lambda}.
É conveniente separar os casos pelo sinal de \lambda.

Passo 3

Caso \lambda<0.
Defina \kappa=\sqrt{-2\lambda}>0. Então \sqrt{-8\lambda}=2\kappa e as raízes são r=2\pm\kappa (reais e distintas). A solução geral é
y(x)=C_1 e^{(2+\kappa)x}+C_2 e^{(2-\kappa)x}.
Impondo y(0)=0 C_1+C_2=0, ou C_2=-C_1. Logo
y(x)=C_1\big(e^{(2+\kappa)x}-e^{(2-\kappa)x}\big)=2C_1 e^{2x}\operatorname{sinh}(\kappa x).
Agora a condição y(2\pi)=0 implica 2C_1 e^{4\pi}\operatorname{sinh}(2\pi\kappa)=0. Como e^{4\pi}\neq0 e \operatorname{sinh}(2\pi\kappa)>0 para \kappa>0, a única possibilidade é C_1=0, ou seja solução trivial. Conclusão: não existem autovalores com \lambda<0.

Passo 4

Caso \lambda=0.
Aqui \kappa=0 e as raízes da característica são ambas r=2 (raiz dupla). A solução geral é
y(x)=e^{2x}(A+Bx).
Impondo y(0)=0 A=0. Então y(2\pi)=e^{4\pi}B(2\pi)=0 força B=0. Assim só a solução trivial existe; logo \lambda=0 também não é autovalor.

Passo 5

Caso \lambda>0.
Defina \mu=\sqrt{2\lambda}>0. Então \sqrt{-8\lambda}=2i\mu e as raízes são r=2\pm i\mu. Para raízes complexas conjugadas a solução real geral é
y(x)=e^{2x}\big(A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x)\big).
Impondo y(0)=0 A=0. Então as soluções candidatas (não nulas) têm a forma
y(x)=B e^{2x}\sin(\mu x),
com B constante. A condição y(2\pi)=0 exige
B e^{4\pi}\sin(2\pi\mu)=0.
Para uma solução não-trivial precisamos B\neq0 e assim \sin(2\pi\mu)=0. Isso acontece quando
2\pi\mu=n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Como \mu>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Portanto
\mu=\frac{n}{2},\qquad n=1,2,3,\dots
Lembrando \mu=\sqrt{2\lambda}, obtemos os autovalores
\lambda_n=\frac{\mu^2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}\right)^{\!2}=\frac{n^{2}}{8},\qquad n=1,2,3,\dots

Passo 6

Autofunções associadas (explicação prática): para cada n\ge1 a solução não-trivial correspondente, tomando a constante B arbitrária (autofunções são definidas até constante multiplicativa), é
y_n(x)=C\,e^{2x}\sin\!\big(\tfrac{n}{2}x\big),
com C\neq0 constante arbitrária. Essas funções satisfazem y_n(0)=0 e
y_n(2\pi)=C e^{4\pi}\sin(2\pi\cdot\tfrac{n}{2})=C e^{4\pi}\sin(n\pi)=0,
como requerido. Não há outros autovalores, porque nós analisamos todos os casos de sinal de \lambda e apenas \lambda>0 forneceu soluções não-triviais compatíveis com as condições de contorno.

Resposta

\displaystyle \lambda_n=\frac{n^{2}}{8},\qquad n=1,2,3,\dots
\displaystyle y_n(x)=C\,e^{2x}\sin\!\big(\tfrac{n}{2}x\big),\qquad C\neq0,\\ n=1,2,3,\dots

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