Determine os autovalores para o problema de Sturm Louville
Bem como as autofunções associadas.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e as autofunções não-triviais do problema de valores de contorno
As informações dadas são:
- A equação diferencial linear com coeficientes constantes
. - Condições de contorno homogêneas em
e .
O objetivo é encontrar todos os valores depara os quais existe solução não-trivial satisfeitas as duas condições, e escrever as autofunções correspondentes.]
Passo 2
Método geral (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes procura-se soluções da forma
. Substituindo na equação obtém-se a equação característica (polinomial) para
. As raízes
determinam a forma geral da solução: raízes reais distintas dão combinações lineares de expoentes reais; raízes complexas conjugadas dão exponencial real vezes combinações seno/cosseno; raízes repetidas dão fatores polinomiais multiplicando a exponencial.
Aplicando isso aqui, a equação característica é
Resolvendo-a por fórmula de Bhaskara:
É conveniente separar os casos pelo sinal de
.
Passo 3
Caso
.
Defina
. Então
e as raízes são
(reais e distintas). A solução geral é
Impondo
dá
, ou
. Logo
Agora a condição
implica
. Como
e
para
, a única possibilidade é
, ou seja solução trivial. Conclusão: não existem autovalores com
.
Passo 4
Caso
.
Aqui
e as raízes da característica são ambas
(raiz dupla). A solução geral é
Impondo
dá
. Então
força
. Assim só a solução trivial existe; logo
também não é autovalor.
Passo 5
Caso
.
Defina
. Então
e as raízes são
. Para raízes complexas conjugadas a solução real geral é
Impondo
dá
. Então as soluções candidatas (não nulas) têm a forma
com
constante. A condição
exige
Para uma solução não-trivial precisamos
e assim
. Isso acontece quando
Como
tomamos
. Portanto
Lembrando
, obtemos os autovalores
Passo 6
Autofunções associadas (explicação prática): para cada
a solução não-trivial correspondente, tomando a constante
arbitrária (autofunções são definidas até constante multiplicativa), é
com
constante arbitrária. Essas funções satisfazem
e
como requerido. Não há outros autovalores, porque nós analisamos todos os casos de sinal de
e apenas
forneceu soluções não-triviais compatíveis com as condições de contorno.