(2,0 pontos) A integral \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(y-x) \sqrt{x+y} d y d x pode ser calculada com a mudança de variáveis u=y-x, v=x+y.
a) Determine as expressões de x=x(u, v), y=y(u, v) e \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)};
b) A integral nas coordenadas u v é dada por \int_{0}^{1} \int_{u_{1}}^{u_{2}} \alpha u \sqrt{v} d u d v. Determine as expressões de u_{1}, u_{2} e \alpha.
Observação didática: o sinal negativo indica inversão de orientação entre as coordenadas; para mudar a variável numa integral de área usa-se o valor absoluto do determinante como fator de escala da área. Assim |\partial(x,y)/\partial(u,v)|=\tfrac{1}{2}.]
Passo 4
Expressar o integrando e o elemento de área em termos de u,v.
O integrando original é (y-x)\sqrt{x+y}. Em termos de u,v temos:
Portanto a integranda completa é \displaystyle u\sqrt{v}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\,u\sqrt{v}. Isso mostra que o coeficiente \alpha pedido é \tfrac{1}{2}.
Passo 5
Determinar os limites da nova região em termos de u e v.
A região original é \{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
Primeiro obter o intervalo de v. Como v=x+y e x+y varia entre 0 (no ponto (0,0)) e 1 (na hipotenusa do triângulo), segue que
0\le v\le 1.
Para um v fixo (ou seja, numa reta x+y=v intersectando o triângulo), temos as restrições x\ge 0 e y\ge 0. Usando x=\dfrac{v-u}{2}\ge 0 e y=\dfrac{v+u}{2}\ge 0 obtemos:
v-u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad u\le v,
v+u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad u\ge -v.
Portanto, para cada v\in[0,1] temos
-u \text{ varia entre } -v \text{ e } v\quad\text{ou mais simplesmente}\quad -v\le u\le v.
Assim os limites internos são u_1(u\text{ mínimo})=-ví e u_2(u\text{ máximo})=vá.
Passo 6
Reescrever a integral na forma pedida e identificar os parâmetros.