a série de Fourier para a função:
\begin{gathered} f(x)=\left\{\begin{array}{rr} 0, & -2 \leq x \leq-1, \\ x, & -1<x<1, \\ 0, & 1 \leq x<2, \end{array} \quad f(x+4)=f(x) .\right. \\ \cdot \quad \int x \cos (a x)=\frac{1}{a^{2}} \cos (a x)+\frac{x}{a} \operatorname{sen}(a x)+C \\ \int x \operatorname{sen}(a x)=\frac{1}{a^{2}} \operatorname{sen}(a x)-\frac{x}{a} \cos (a x)+C \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • A função periódica de período 4\) é definida por \[f(x)=\begin{cases} 0, & -2\le x\le -1,\\[4pt] x, & -1<x<1,\\[4pt] 0, & 1\le x<2, \end{cases} \qquad f(x+4)=f(x).
  • O pedido implícito é obter a série de Fourier dessa função (a expansão em senos e cossenos da função de período (4]).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Período T=4. Logo podemos usar a fórmula de Fourier com L=\dfrac{T}{2}=2.
  • A função é definida por partes e é igual a x apenas no intervalo (-1,1); fora disso, entre [1,2) e [-2,-1] ela vale 0.
  • Foram fornecidas primitividades úteis:
\int x\cos(ax)\,dx=\frac{1}{a^{2}}\cos(ax)+\frac{x}{a}\sin(ax)+C, \qquad \int x\sin(ax)\,dx=\frac{1}{a^{2}}\sin(ax)-\frac{x}{a}\cos(ax)+C.]

Passo 2

Fórmulas básicas da série de Fourier (com L=2) — explicando cada termo:
Para uma função de período 2L=4 a expansão de Fourier é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right].
Aqui L=2, então os argumentos trigonométricos ficam \dfrac{n\pi x}{2}.
As fórmulas das coeficientes são
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explicando: a_0 mede a média da função no período; a_n são coeficientes das cossenos; b_n são coeficientes dos senos. Aqui L=2, então cada integral tem fator 1/2.

Passo 3

Observação sobre simetria (paridade) — por que isso simplifica muito:
Verificar se f é par, ímpar ou nenhuma:
  • Para x\in(0,1) tem f(x)=x e f(-x)=-x. Para x\in(1,2) tem f(x)=0 e f(-x)=0. Portanto f(-x)=-f(x) para todos x. Logo f é ímpar.
Consequências da ímparidade:
  • Para uma função ímpar em [-L,L] vale \int_{-L}^{L} f(x)\,dx=0. Então a_0=0.
  • Produtos de função ímpar com cosseno (par) dão função ímpar, cuja integral simétrica é zero: a_n=0 para todo n.
  • Produtos de função ímpar com seno (ímpar) dão função par, cuja integral simétrica pode ser diferente de zero: b_n possivelmente não nulos.
Portanto a série terá apenas termos em seno:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

Passo 4

Expressão do coeficiente b_n e simplificação usando a definição por partes de f:
Pela fórmula com L=2,
b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Como f é ímpar e \sin também é ímpar, o integrando é par, então podemos escrever
b_n=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Mas f(x)=x em 0<x<1 e f(x)=0 em 1\le x<2. Assim
b_n=\int_{0}^{1} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Cálculo do integral \displaystyle b_n=\int_{0}^{1} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx usando a primitiva fornecida:
Defina a=\dfrac{n\pi}{2}. A primitiva dada é
\int x\sin(ax)\,dx=\frac{1}{a^{2}}\sin(ax)-\frac{x}{a}\cos(ax)+C.
Aplicando entre 0 e 1:
b_n=\left[\frac{1}{a^{2}}\sin(ax)-\frac{x}{a}\cos(ax)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{a^{2}}\sin(a)-\frac{1}{a}\cos(a)-\big(0-0\big).
Logo
b_n=\frac{1}{a^{2}}\sin(a)-\frac{1}{a}\cos(a), \qquad a=\frac{n\pi}{2}.

Passo 6

Escrever b_n explicitamente em termos de n e simplificar:
Substituindo a=\dfrac{n\pi}{2} temos
\frac{1}{a}=\frac{2}{n\pi},\qquad \frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}.
Portanto
b_n=\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Isso é uma forma geral válida para todo n. Podemos, porém, obter fórmulas mais simples separando n par e n ímpar, usando os valores conhecidos de \sin e \cos em múltiplos de \dfrac{\pi}{2}:
  • Para n=2m (número par): \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0 e \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Então
b_{2m}=0-\frac{2}{2m\pi}\,(-1)^m=-\frac{1}{m\pi}(-1)^m=\frac{(-1)^{m+1}}{m\pi}.
  • Para n=2m+1 (número ímpar): \cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)=(-1)^m. Então
b_{2m+1}=\frac{4}{(2m+1)^2\pi^{2}}\,(-1)^m-\;0=\frac{4(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^{2}}.

Passo 7

Escrever a série de Fourier final, agrupando os termos pares e ímpares:
Usando as fórmulas acima, a série (válida para todos os x\)) fica \[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right),
com b_n dado por
b_n= \begin{cases} \dfrac{(-1)^{m+1}}{m\pi}, & n=2m,\\[6pt] \dfrac{4(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^{2}}, & n=2m+1. \end{cases}
Podemos separar explicitamente em duas somas (útil para visualização):
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{m\pi}\sin(m\pi x) \;+\;\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^{2}}\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).
Observação sobre índices: na primeira soma aparecem os termos com n=2m\] (pares) e note que \(\sin\!\left(\frac{2m\pi x}{2}\right)=\sin(m\pi x). Na segunda soma aparecem os n ímpares 2m+1 (começando em m=0 para n=1).]

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)
ou, equivalente, em forma separada por paridade,
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{m\pi}\sin(m\pi x) +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^{2}}\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).

Exercícios relacionados