\begin{gathered}
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}
0, & -2 \leq x \leq-1, \\
x, & -1<x<1, \\
0, & 1 \leq x<2,
\end{array} \quad f(x+4)=f(x) .\right. \\
\cdot \quad \int x \cos (a x)=\frac{1}{a^{2}} \cos (a x)+\frac{x}{a} \operatorname{sen}(a x)+C \\
\int x \operatorname{sen}(a x)=\frac{1}{a^{2}} \operatorname{sen}(a x)-\frac{x}{a} \cos (a x)+C
\end{gathered}
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
A função periódica de período 4\) é definida por
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -2\le x\le -1,\\[4pt] x, & -1<x<1,\\[4pt] 0, & 1\le x<2, \end{cases} \qquad f(x+4)=f(x).
O pedido implícito é obter a série de Fourier dessa função (a expansão em senos e cossenos da função de período (4]).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Período T=4. Logo podemos usar a fórmula de Fourier com L=\dfrac{T}{2}=2.
A função é definida por partes e é igual a x apenas no intervalo (-1,1); fora disso, entre [1,2) e [-2,-1] ela vale 0.
Explicando: a_0 mede a média da função no período; a_n são coeficientes das cossenos; b_n são coeficientes dos senos. Aqui L=2, então cada integral tem fator 1/2.
Passo 3
Observação sobre simetria (paridade) — por que isso simplifica muito:
Verificar se f é par, ímpar ou nenhuma:
Para x\in(0,1) tem f(x)=x e f(-x)=-x. Para x\in(1,2) tem f(x)=0 e f(-x)=0. Portanto f(-x)=-f(x) para todos x. Logo f é ímpar.
Consequências da ímparidade:
Para uma função ímpar em [-L,L] vale \int_{-L}^{L} f(x)\,dx=0. Então a_0=0.
Produtos de função ímpar com cosseno (par) dão função ímpar, cuja integral simétrica é zero: a_n=0 para todo n.
Produtos de função ímpar com seno (ímpar) dão função par, cuja integral simétrica pode ser diferente de zero: b_n possivelmente não nulos.
Isso é uma forma geral válida para todo n. Podemos, porém, obter fórmulas mais simples separando n par e n ímpar, usando os valores conhecidos de \sin e \cos em múltiplos de \dfrac{\pi}{2}:
Para n=2m (número par): \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0 e \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Então
Observação sobre índices: na primeira soma aparecem os termos com n=2m\] (pares) e note que \(\sin\!\left(\frac{2m\pi x}{2}\right)=\sin(m\pi x). Na segunda soma aparecem os n ímpares 2m+1 (começando em m=0 para n=1).]