e informa que f é contínua em x_{0}=1. A pergunta é: determinar o(s) valor(es) de a que tornam f contínua em x=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para x<1 a expressão é \;a^{2}x^{2}+2.
Para x\ge1 a expressão é \;3ax. Em particular, o valor da função no ponto x=1 é f(1)=3a (porque usa-se a segunda parte).
Quer-se o(s) valor(es) de a tais que f seja contínua em x=1.]
Passo 2
O que significa ser contínua em x=1 (aula rápida e prática):
Intuitivamente: não pode haver “salto” ou “buraco” em x=1; os valores ao se aproximar de 1 pela esquerda e pela direita devem coincidir e igualar ao valor da função em 1.
Formalmente: f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
Aqui temos uma função por partes, então cada limite lateral é dado pela expressão correspondente ao lado:
O limite pela esquerda (usando a expressão para x<1) é
Para fatorar o polinômio do segundo membro, procuramos dois números cujo produto seja 2 e cuja soma seja -3. Esses números são -1 e -2. Logo
a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2)=0.
Assim as soluções são
a=1\quad\text{ou}\quad a=2.
Passo 5
Verificação explícita (sempre bom checar nos exercícios e na prova):
Para a=1: a^{2}+2=1^{2}+2=3 e 3a=3\cdot1=3. Coincidem, portanto f é contínua em 1 quando a=1.
Para a=2: a^{2}+2=2^{2}+2=6 e 3a=3\cdot2=6. Também coincidem, logo a=2 também funciona.
Dica prática para a prova: sempre calcule explicitamente o limite à esquerda (avaliando a expressão do ramo esquerdo em x=1), o limite à direita (avaliando o ramo direito em x=1) e o valor f(1) conforme o ramo que contém x=1. Igualando esses valores obtém-se a(s) condição(ões) para os parâmetros.