Exercício 3. Se
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} a^{2} x^{2}+2 & \text { se, } x<1 \\\\ 3 a x & \text { se, } x \geq 1 \end{array}\right.
é contínua em x_{0}=1, determine o(s) valor(es) de a.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} a^{2}x^{2}+2 & \text{se } x<1,\\[4pt] 3ax & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e informa que f é contínua em x_{0}=1. A pergunta é: determinar o(s) valor(es) de a que tornam f contínua em x=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<1 a expressão é \;a^{2}x^{2}+2.
  • Para x\ge1 a expressão é \;3ax. Em particular, o valor da função no ponto x=1 é f(1)=3a (porque usa-se a segunda parte).
  • Quer-se o(s) valor(es) de a tais que f seja contínua em x=1.]

Passo 2

O que significa ser contínua em x=1 (aula rápida e prática):
  • Intuitivamente: não pode haver “salto” ou “buraco” em x=1; os valores ao se aproximar de 1 pela esquerda e pela direita devem coincidir e igualar ao valor da função em 1.
  • Formalmente: f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1).
Aqui temos uma função por partes, então cada limite lateral é dado pela expressão correspondente ao lado:
  • O limite pela esquerda (usando a expressão para x<1) é
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} \bigl(a^{2}x^{2}+2\bigr).
Como a^{2}x^{2}+2 é uma função polinomial em x (para cada a fixo ela é contínua), basta substituir x=1 dentro da expressão para obter o limite:
\lim_{x\to1^-} f(x)=a^{2}\cdot 1^{2}+2=a^{2}+2.
  • O limite pela direita (usando a expressão para x\ge1) é
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (3ax)=3a\cdot 1=3a.
  • E, como já anotado no Passo 1, o valor da função em 1 é
f(1)=3a.

Passo 3

Agora impondo a condição de continuidade (as duas partes e o valor no ponto têm que coincidir), basta igualar o limite pela esquerda ao valor em 1:
a^{2}+2=3a.
Isso é uma equação em a. Vamos resolvê-la passo a passo.

Passo 4

Resolva a equação quadrática:
a^{2}+2=3a \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-3a+2=0.
Para fatorar o polinômio do segundo membro, procuramos dois números cujo produto seja 2 e cuja soma seja -3. Esses números são -1 e -2. Logo
a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2)=0.
Assim as soluções são
a=1\quad\text{ou}\quad a=2.

Passo 5

Verificação explícita (sempre bom checar nos exercícios e na prova):
  • Para a=1: a^{2}+2=1^{2}+2=3 e 3a=3\cdot1=3. Coincidem, portanto f é contínua em 1 quando a=1.
  • Para a=2: a^{2}+2=2^{2}+2=6 e 3a=3\cdot2=6. Também coincidem, logo a=2 também funciona.
Dica prática para a prova: sempre calcule explicitamente o limite à esquerda (avaliando a expressão do ramo esquerdo em x=1), o limite à direita (avaliando o ramo direito em x=1) e o valor f(1) conforme o ramo que contém x=1. Igualando esses valores obtém-se a(s) condição(ões) para os parâmetros.

Resposta

a=1
a=2

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