Não há mais dados numéricos; a>0 é assumido para que a^{\cdot} esteja bem definida (se necessário para interpretação), e m,n são constantes. O objetivo é calcular cada um desses limites conforme x se aproxima do valor indicado.
Passo 2
Resolver o primeiro limite usando uma mudança de variável que simplifica a forma indeterminada. Defina \,t=x-1. Quando x\to1 temos t\to0. Reescrevendo a expressão em função de t:
Portanto o primeiro limite vale \dfrac{1-\ln a}{2}.
Passo 4
Calcular o segundo limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}. Interpretar este limite como derivada da função \ln u em u=1. Defina u=1+x. Quando x\to0 temos u\to1 e
\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln u - \ln 1}{u-1}.
O lado direito é a definição do quociente incremental de f(u)=\ln u em u=1. Sabendo que a derivada de \ln u é f'(u)=1/u, avaliando em u=1 obtemos f'(1)=1. Assim
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Passo 5
Resolver o terceiro limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{a^{m x}-1}{a^{n x}-1}. Aqui usamos o fato já mostrado no Passo 3: para qualquer constante c,
\lim_{u\to0}\frac{a^{u}-1}{u}=\ln a.
Escolha u_1=m x e u_2=n x. Reescreva a razão manipulando fatores para aparecerem termos do tipo \dfrac{a^{u}-1}{u}:
Quando x\to0 temos \dfrac{a^{m x}-1}{m x}\to\ln a e \dfrac{a^{n x}-1}{n x}\to\ln a. Então a razão dos dois tende a 1, e o limite total é
\frac{m}{n}\cdot 1 = \frac{m}{n}.
Uma forma alternativa curta: usar a aproximação a^{k x}-1\approx kx\ln a para x pequeno e cancelar x\ln a.
Passo 6
Calcular o quarto limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-1}. Façamos a mesma mudança de variável do primeiro caso: t=x-1, então t\to0, x=1+t. Reescrevendo,