Sobre a transformada de Fourier, é correto afirmar que:
essa transformada permite decompor um sinal não senoidal em uma soma de sinais senoidais.
(B) essa transformada näo é de grande valia para a análise de circuitos, devido à sua complexidade.
(C) essa transformada năo permite encontrar a frequência dos sinais que compŏe o sinal analisado.
(D) essa transformada só é aplicável a sinais senoidais.
(E) uma vez aplicada a transformada de Fourier, é impossível fazer a sintese, ou seja, reconstruir o sinal decomposto para a obtenção do sinal original.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre a transformada de Fourier e pede para escolher a(s) correta(s). As afirmações são:
(A) essa transformada permite decompor um sinal não senoidal em uma soma de sinais senoidais.
(B) essa transformada näo é de grande valia para a análise de circuitos, devido à sua complexidade.
(C) essa transformada năo permite encontrar a frequência dos sinais que compŏe o sinal analisado.
(D) essa transformada só é aplicável a sinais senoidais.
(E) uma vez aplicada a transformada de Fourier, é impossível fazer a sintese, ou seja, reconstruir o sinal decomposto para a obtenção do sinal original.
Informações dadas: temos apenas essas cinco afirmativas; a tarefa é identificar qual(is) está(ão) correta(s).
A resolução começa a partir do Passo 2.

Passo 2

O que é a transformada de Fourier (resumidamente e de forma prática). Vou te explicar devagar, como um amigo: a ideia central é transformar um sinal descrito no tempo (ou no espaço) em uma função que mostra como as diferentes frequências estão presentes nesse sinal. Formalmente (essa é a fórmula que aparece em quase todo livro), a transformada direta e a inversa são:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
Expliquei o que cada símbolo significa: f(t) é o sinal no tempo (o que você mede numa entrada de circuito, por exemplo); \omega é a frequência angular (medida em rad/s); F(\omega) é a representação do sinal no domínio da frequência — ou seja, quanto cada frequência contribui para formar f(t); i é a unidade imaginária. Esses integrais mostram que a transformada é um “mapa” entre domínio do tempo e domínio da frequência, e que existe uma transformação de volta (a inversa).

Passo 3

Interpretação física e didática da fórmula: por que a transformada “decompõe” em senóides. Veja: o integrando f(t)\,e^{-i\omega t} corresponde a “projetar” o sinal f(t) sobre a exponencial complexa e^{i\omega t}, que é uma combinação de senos e cossenos (pela identidade de Euler). Ou seja, a transformada mede quanto do componente com frequência \omega existe em f(t). Em linguagem simples: a transformada responde à pergunta “quanto de cada senóide (cada frequência) está no sinal?”. Isso é exatamente decomposição em componentes harmônicos.
Exemplo simples e concreto: se f(t)=\cos(\omega_0 t), a transformada tem picos em \omega=\pm\omega_0. Se f(t) é uma soma de duas cossenas, a transformada mostra dois pares de picos. Se f(t) é um pulso retangular no tempo, sua transformada é uma função do tipo sinc — diferente do tempo, mas que revela todas as frequências necessárias para reconstruir o pulso.

Passo 4

Propriedade de inversibilidade (sintese). Repare na fórmula da inversa que eu escrevi: ela mostra explícita e formalmente que, sob condições razoáveis (sinais integráveis, ou em sentido de distribuições), você pode recuperar f(t) a partir de F(\omega). Em palavras: aplicar a transformada de Fourier não destrói informação — você pode sintetizar (reconstruir) o sinal original pela transformada inversa. Portanto, a afirmação (E) — que diz ser impossível sintetizar depois — é falsa.

Passo 5

Utilidade prática para análise de circuitos. Em teoria de circuitos e em engenharia em geral, analisar sinais no domínio da frequência é extremamente útil: resposta em frequência, impedâncias dependentes de \omega, filtros etc. A transformada de Fourier (ou suas versões: transformada de Laplace, séries de Fourier, análise de resposta em frequência) é uma ferramenta central, não algo descartável por “complexidade”. Então a afirmação (B) — que diz que a transformada não é de grande valia para circuitos — é falsa. Pelo contrário: é de grande valia.

Passo 6

Capacidade de encontrar frequências presentes. A transformada de Fourier é a ferramenta clássica para identificar quais frequências compõem um sinal: F(\omega) mostra a intensidade (e fase) em cada frequência \omega. Logo, a afirmação (C) — que diz que a transformada não permite encontrar as frequências — é claramente falsa. Se você quer “frequência dos sinais que compõem” algo, a transformada é a resposta direta.

Passo 7

Aplicabilidade a sinais não senoidais. A transformada não exige que o sinal seja senoidal; ela serve justamente para analisar sinais arbitrários (contínuos, limitados, ou em sentido generalizado). A transformada de Fourier generaliza a ideia de decompor qualquer sinal (incluindo sinais não senoidais) em integrais de senóides. A afirmação (D) — que diz que é aplicável somente a sinais senoidais — é falsa. Aliás, se ela só fosse aplicável a senóides, ela não teria sentido prático: a utilidade é justamente aplicar a sinais complexos e não puramente senoidais.

Passo 8

Resumo das verificações e reforço didático: vimos que
  • A transformada de Fourier decompõe sinais em componentes harmônicas (senóides/complexas) — então (A) parece correta. Relembre: a decomposição é geralmente uma soma no caso discreto (séries de Fourier) ou uma integral contínua (transformada) — mas a ideia é a mesma: representação como combinação de senóides.
  • (B) é falsa porque a transformada é muito usada e muito útil em circuitos e engenharia.
  • (C) é falsa porque a transformada mostra exatamente as frequências presentes.
  • (D) é falsa porque pode ser aplicada a sinais arbitrários, não apenas senoidais.
  • (E) é falsa porque existe a transformada inversa que permite sintetizar o sinal original.
Um comentário prático que acalme teu desespero: na prova, se aparecer uma frase do tipo da (A), reconheça que a transformada é justamente a ferramenta de decomposição em senóides — isso é a essência. As demais alternativas contêm afirmações contrárias às propriedades fundamentais (utilidade, identificação de frequência, aplicabilidade geral, inversibilidade).

Resposta

(A) essa transformada permite decompor um sinal não senoidal em uma soma de sinais senoidais.

Exercícios relacionados