- Uma série infinita converge se a sequência das suas somas parciais for limitada e monótona.
Passo 1
O enunciado diz que “uma série infinita converge se a sequência das suas somas parciais for limitada e monótona”. Aqui o conteúdo envolve definição de série como sequência de somas parciais e o Teorema da Convergência Monótona de sequências. Vamos mostrar que, de fato, uma sequência real que é limitada e monótona converge, e daí concluir sobre a série.
Passo 2
Definimos a série
pela sua sequência de somas parciais
Dizemos que a série converge se, e somente se, a sequência
converge (isto é, tem limite finito).
Passo 3
O Teorema da Convergência Monótona afirma que toda sequência real que seja ao mesmo tempo monótona (crescente ou decrescente) e limitada convergirá a um limite finito. Em outras palavras, se
é limitada e, digamos, monótona crescente, então existe
Passo 4
Como a convergência da série
é exatamente a convergência da sequência
, vemos que, se
for limitada e monótona, ela converge. Logo a série converge.
Resposta
Verdadeira.