- A série geométrica
converge desde que
.
Passo 1
O enunciado trata da série infinita
e pergunta em que condição ela converge e qual é sua soma. O conteúdo é soma de série geométrica e vamos precisar da fórmula da soma parcial e do limite de
quando
.
Passo 2
Definimos a soma parcial até o termo
:
Usando a fórmula da soma de progressão geométrica, obtemos
válida sempre que
.
Passo 3
Para passar da soma parcial à soma infinita, fazemos
. Se
, então
logo
Passo 4
Se
, o termo geral
não tende a zero (ou diverge em módulo), e portanto a série não converge. Concluímos que a condição necessária e suficiente para convergência é