1. A série geométrica a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{n}+\cdots converge desde que |r|<1.

Passo 1

O enunciado trata da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}=a + a\,r + a\,r^{2} + \cdots
e pergunta em que condição ela converge e qual é sua soma. O conteúdo é soma de série geométrica e vamos precisar da fórmula da soma parcial e do limite de r^{n} quando n\to\infty.

Passo 2

Definimos a soma parcial até o termo n=N:
S_{N} = \sum_{n=0}^{N}a\,r^{n} = a + a\,r + a\,r^{2} + \cdots + a\,r^{N}.
Usando a fórmula da soma de progressão geométrica, obtemos
S_{N} = a\,\frac{1 - r^{N+1}}{1 - r},
válida sempre que r \neq 1.

Passo 3

Para passar da soma parcial à soma infinita, fazemos N\to\infty. Se \lvert r\rvert < 1, então
\lim_{N\to\infty}r^{N+1} = 0,
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\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n} = \lim_{N\to\infty}S_{N} = \lim_{N\to\infty}a\,\frac{1 - r^{N+1}}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}.

Passo 4

Se \lvert r\rvert \ge 1, o termo geral a\,r^{n} não tende a zero (ou diverge em módulo), e portanto a série não converge. Concluímos que a condição necessária e suficiente para convergência é
\lvert r\rvert < 1.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n} = \frac{a}{1 - r}, \quad\text{válido somente para }\lvert r\rvert<1.á

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