1. Uma série infinita converge se a sequência das suas somas parciais for limitada e monótona.

Passo 1

O enunciado diz que “uma série infinita converge se a sequência das suas somas parciais for limitada e monótona”. Aqui o conteúdo envolve definição de série como sequência de somas parciais e o Teorema da Convergência Monótona de sequências. Vamos mostrar que, de fato, uma sequência real que é limitada e monótona converge, e daí concluir sobre a série.

Passo 2

Definimos a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} pela sua sequência de somas parciais
S_{k} = \sum_{n=1}^{k} a_{n}\,,\qquad k=1,2,3,\dots
Dizemos que a série converge se, e somente se, a sequência \{S_{k}\} converge (isto é, tem limite finito).

Passo 3

O Teorema da Convergência Monótona afirma que toda sequência real que seja ao mesmo tempo monótona (crescente ou decrescente) e limitada convergirá a um limite finito. Em outras palavras, se \{S_{k}\} é limitada e, digamos, monótona crescente, então existe
\lim_{k\to\infty}S_{k}=L\in\mathbb{R}\,.

Passo 4

Como a convergência da série \sum a_{n} é exatamente a convergência da sequência \{S_{k}\}, vemos que, se \{S_{k}\} for limitada e monótona, ela converge. Logo a série converge.

Resposta

Verdadeira.

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