Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência. f(x)=x^{2} e^{x}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin de f).
Pede também os intervalos de convergência dessa série.
A função dada é f(x)=x^{2}e^{x}.
Não há outras condições adicionais: vamos usar informações padrão sobre séries de potências e derivadas.
Passo 2
Lembrete da definição (passo-a-passo didático): a série de Taylor de uma função f centrada em 0 é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Cada coeficiente da série é \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}. Aqui as variáveis são: n índice da soma (inteiro não negativo), f^{(n)}(0) a derivada de ordem n em 0, e x a variável.
Vou usar duas maneiras para obter a série e assim você aprende alternativas: (A) multiplicar a série conhecida de e^{x} por x^{2}; (B) obter os coeficientes por derivadas (verificando consistência).
Passo 3
Método (A) — usar a série conhecida de e^{x}.
Sabemos que
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Multiplicando termo a termo por x^{2} (o que é válido porque é uma série de potências):
Essa forma deixa explícitos os coeficientes na potência x^{k}: para k\ge2 o coeficiente é \dfrac{1}{(k-2)!}, e para k=0,1 os coeficientes são 0, o que bate com a expressão original.
Passo 5
Método (B) — verificar coeficientes usando derivadas (bom para entender a origem dos coeficientes).
Usamos a regra do produto generalizada (fórmula de Leibniz) com g(x)=x^{2} e h(x)=e^{x}. Para a n-ésima derivada:
Avaliaremos em x=0. Os termos com x^{2} e x desaparecem em 0, sobrando apenas
f^{(n)}(0)=2\binom{n}{2}\quad\text{para }n\ge2.
Para n=0 e n=1 temos f(0)=0 e f'(0)=0, o que também é compatível com os termos iniciais nulos da série. Agora o coeficiente de x^{n} na série de Taylor é
Como o limite da razão é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para todo x. Ou seja, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).
Passo 7
Resumo prático (como usar na prova): você pode lembrar diretamente que multiplicar a série de e^{x} por x^{2} dá a resposta imediata; se pedirem os coeficientes via derivadas, use a fórmula de Leibniz com x^{2} (apenas três derivadas não nulas) — isso produz a fórmula \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{1}{(n-2)!} para n\ge2.