Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência.
f(x)=x^{2} e^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin de f).
  • Pede também os intervalos de convergência dessa série.
  • A função dada é f(x)=x^{2}e^{x}.
  • Não há outras condições adicionais: vamos usar informações padrão sobre séries de potências e derivadas.

Passo 2

Lembrete da definição (passo-a-passo didático): a série de Taylor de uma função f centrada em 0 é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Cada coeficiente da série é \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}. Aqui as variáveis são: n índice da soma (inteiro não negativo), f^{(n)}(0) a derivada de ordem n em 0, e x a variável.
Vou usar duas maneiras para obter a série e assim você aprende alternativas: (A) multiplicar a série conhecida de e^{x} por x^{2}; (B) obter os coeficientes por derivadas (verificando consistência).

Passo 3

Método (A) — usar a série conhecida de e^{x}.
Sabemos que
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Multiplicando termo a termo por x^{2} (o que é válido porque é uma série de potências):
x^{2}e^{x}=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}.
Essa já é uma forma correta da série centrada em 0. Podemos escrever os primeiros termos para ver a forma explícita:
x^{2}e^{x}=\frac{x^{2}}{0!}+\frac{x^{3}}{1!}+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{5}}{3!}+\cdots.

Passo 4

Reindexando para a conveniência usual: ponha k=n+2. Então quando n=0 temos k=2, e obtemos
x^{2}e^{x}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!}.
Essa forma deixa explícitos os coeficientes na potência x^{k}: para k\ge2 o coeficiente é \dfrac{1}{(k-2)!}, e para k=0,1 os coeficientes são 0, o que bate com a expressão original.

Passo 5

Método (B) — verificar coeficientes usando derivadas (bom para entender a origem dos coeficientes).
Usamos a regra do produto generalizada (fórmula de Leibniz) com g(x)=x^{2} e h(x)=e^{x}. Para a n-ésima derivada:
f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} g^{(k)}(x)\,h^{(n-k)}(x).
Como g^{(0)}(x)=x^{2}, g^{(1)}(x)=2x, g^{(2)}(x)=2 e g^{(k)}(x)=0 para k\ge3; e h^{(m)}(x)=e^{x} para todo m, temos
f^{(n)}(x)=e^{x}\bigg(\binom{n}{0}x^{2}+\binom{n}{1}2x+\binom{n}{2}2\bigg).
Avaliaremos em x=0. Os termos com x^{2} e x desaparecem em 0, sobrando apenas
f^{(n)}(0)=2\binom{n}{2}\quad\text{para }n\ge2.
Para n=0 e n=1 temos f(0)=0 e f'(0)=0, o que também é compatível com os termos iniciais nulos da série. Agora o coeficiente de x^{n} na série de Taylor é
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{2\binom{n}{2}}{n!}=\frac{2\cdot\frac{n(n-1)}{2}}{n!}=\frac{n(n-1)}{n!}=\frac{1}{(n-2)!},
para n\ge2; e para n=0,1 o coeficiente é 0. Isso confirma a forma obtida no Método (A).

Passo 6

Intervalo de convergência (explicação didática):
Pegamos a forma
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}.
Aplique o teste da razão à sequência de termos a_{n}=\dfrac{x^{n+2}}{n!} (a variação de índice não altera a convergência):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\left|\frac{x^{n+3}/(n+1)!}{x^{n+2}/n!}\right| =\frac{|x|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Como o limite da razão é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para todo x. Ou seja, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Passo 7

Resumo prático (como usar na prova): você pode lembrar diretamente que multiplicar a série de e^{x} por x^{2} dá a resposta imediata; se pedirem os coeficientes via derivadas, use a fórmula de Leibniz com x^{2} (apenas três derivadas não nulas) — isso produz a fórmula \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{1}{(n-2)!} para n\ge2.

Resposta

x^{2}e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!}=\frac{x^{2}}{0!}+\frac{x^{3}}{1!}+\frac{x^{4}}{2!}+\cdots
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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