Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas, então vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma.

Passo 2

Reconhecemos que a série é geométrica com razão
r = \frac{2}{5}.
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}, ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1.

Passo 3

Como
\bigl|\tfrac{2}{5}\bigr| = \tfrac{2}{5} < 1,
a série converge. A soma de uma série geométrica desse tipo é dada por
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} = \frac{r}{1-r}.

Passo 4

Substituindo r=\tfrac{2}{5}:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} = \frac{\tfrac{2}{5}}{1 - \tfrac{2}{5}} = \frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{2}{3}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle\frac{2}{3}.

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