Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas. \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas, então vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma.
Passo 2
Reconhecemos que a série é geométrica com razão
r = \frac{2}{5}.
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}, ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1.
Passo 3
Como
\bigl|\tfrac{2}{5}\bigr| = \tfrac{2}{5} < 1,
a série converge. A soma de uma série geométrica desse tipo é dada por