Qual é a série de Taylor da função
em torno de
?
Assinale a alternativa correta:
Assinale a alternativa correta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor e como aplicá-la a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir $ f(x) $ em torno de $ a = 2 $.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ a $ é:
Onde $ f^{(n)}(a) $ é a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ a $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \frac{1}{x} $ e avaliá-las em $ a = 2 $:
-
Primeira derivada:Avaliada em 2:
-
Segunda derivada:Avaliada em 2:
-
Terceira derivada:Avaliada em 2:
E assim por diante…
Passo 5
Observando o padrão das derivadas, percebemos que cada derivada de ordem $ n $ de $ f(x) $ em $ a = 2 $ pode ser expressa como:
Passo 6
Substituindo essa expressão na fórmula da série de Taylor, temos:
Resposta
Portanto, a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $ é: