Qual é a série de Taylor da função f(x)=1x em torno de a=2 ?
Assinale a alternativa correta:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n (x-2)^n2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor e como aplicá-la a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir $ f(x) $ em torno de $ a = 2 $.

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ a $ é:
f(x)
Onde $ f^{(n)}(a) $ é a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ a $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \frac{1}{x} $ e avaliá-las em $ a = 2 $:
  • Primeira derivada:
    f(x) = 1x
    Avaliada em 2:
    a = 2
  • Segunda derivada:
    f'(x) = -1x^2
    Avaliada em 2:
    f'(2) = -14
  • Terceira derivada:
    f''(x) = 2x^3
    Avaliada em 2:
    f''(2) = 28 = 14
E assim por diante…

Passo 5

Observando o padrão das derivadas, percebemos que cada derivada de ordem $ n $ de $ f(x) $ em $ a = 2 $ pode ser expressa como:
n

Passo 6

Substituindo essa expressão na fórmula da série de Taylor, temos:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot n! cdot 12^n+1n! (x - 2)^n = sumn=0^infty (-1)^n (x - 2)^n2^n+1

Resposta

Portanto, a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $ é:
f(x) = 1x

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