Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função $ f(x) = e^{|x|} $ é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar conceitos de funções pares e ímpares, que são fundamentais em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: Uma função é par se, ao substituir $ x $ por $ -x $, a função permanece a mesma. Ou seja, $ f(-x) = f(x) $.
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se, ao substituir $ x $ por $ -x $, a função resulta no oposto da original. Ou seja, $ f(-x) = -f(x) $.
Então, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) = e^{|x|} $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(-x) $:
f(-x)
Sabemos que o valor absoluto de $ -x $ é igual ao valor absoluto de $ x $, ou seja, $ |{-x}| = |x| $. Então:
f(-x) = e^|-x|

Passo 4

Agora, vamos comparar $ f(-x) $ com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
  • Comparando com $ f(x) $:
f(-x)
Isso mostra que $ f(-x) $ é igual a $ f(x) $, o que atende à condição de ser uma função par.
  • Comparando com $ -f(x) $:
f(x)
Aqui, vemos que $ f(-x) $ não é igual a $ -f(x) $, então a função não é ímpar.

Passo 5

Como $ f(-x) = f(x) $, a função atende à definição de função par e não é ímpar. Portanto, podemos concluir que a função é par.

Resposta

A função $ f(x) = e^{|x|} $ é par.

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