Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n}.
O conteúdo principal é séries numéricas e o método mais direto aqui é o teste da raiz, já que temos um termo elevado a n.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_{n} = \bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n}.
Para aplicar o teste da raiz, calculamos
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = \bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr|.
Além disso, para n grande temos o pequeno-ângulo
\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\approx \frac{1}{\sqrt{n}},
que tende a 0.

Passo 3

Agora, o teste da raiz diz que se
\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
satisfaz \rho<1, então a série converge absolutamente. Calculamos
\rho = \lim_{n\to\infty}\bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr| = 0,
pois \sin(1/\sqrt{n})\to 0.

Passo 4

Como \rho=0<1, pelo teste da raiz a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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