Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n} n^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\,n^{3}.
Aqui o conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Razão (ou d’Alembert) para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Definimos a_{n}=e^{-n}n^{3} e aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\biggr| = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{-(n+1)}\,(n+1)^{3}}{e^{-n}\,n^{3}}.

Passo 3

Simplificando o quociente, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}} \;e^{-1} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{3}e^{-1}.
Logo
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{3}e^{-1} = 1\cdot e^{-1} = e^{-1}.

Passo 4

Como e^{-1}<1, pelo teste da razão a série \sum e^{-n}n^{3} converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

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