Quais séries convergem? E quais divergem? Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^{n} Passo 1O enunciado pede para estudar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n}. O conteúdo principal é séries numéricas e o método mais direto aqui é o teste da raiz, já que temos um termo elevado a n. Passo 2Denotemos o termo geral por a_{n} = \bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n}. Para aplicar o teste da raiz, calculamos \sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = \bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr|. Além disso, para n grande temos o pequeno-ângulo \sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\approx \frac{1}{\sqrt{n}}, que tende a 0. Passo 3Agora, o teste da raiz diz que se \rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} satisfaz \rho<1, então a série converge absolutamente. Calculamos \rho = \lim_{n\to\infty}\bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr| = 0, pois \sin(1/\sqrt{n})\to 0. Passo 4Como \rho=0<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin\bigl(1/\sqrt{n}\bigr)\bigr)^{n} converge absolutamente. RespostaA série converge absolutamente. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuais séries convergem? E quais divergem? Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir: \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} Quais séries convergem? E quais divergem? Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir: \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} Quais séries convergem? E quais divergem? Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^{n} Quais séries convergem? E quais divergem? Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir: \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n} n^{3}\right)