Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que calcular a soma. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre o comportamento de termos envolvendo potências e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Isso significa que para cada
, elevamos
à potência de
e depois dividimos pelo fatorial de
.
Passo 3
Para saber se a série converge ou diverge, uma boa estratégia é usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a comparar termos consecutivos da série para ver como eles se comportam à medida que
cresce.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Vamos calcular o limite da razão do termo
sobre
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, onde
.
Passo 5
Então, temos:
O Teste da Razão diz que se esse limite for maior que 1, a série diverge. Como
, isso significa que a série
diverge.
Resposta
A série
diverge porque, pelo Teste da Razão, o limite da razão dos termos consecutivos é maior que 1 (
).