Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que calcular a soma. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre o comportamento de termos envolvendo potências e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . Isso significa que para cada , elevamos à potência de e depois dividimos pelo fatorial de .

Passo 3

Para saber se a série converge ou diverge, uma boa estratégia é usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a comparar termos consecutivos da série para ver como eles se comportam à medida que cresce.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Vamos calcular o limite da razão do termo limn to infty an+1an = limn to infty (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = limn to infty (n+1)^n+1n^n cdot (n+1) = limn to infty (n+1n)^n = limn to infty (1 + 1n)^n sobre quando tende ao infinito:
Sabemos que , onde .

Passo 5

Então, temos:
limn to infty an+1an = e
O Teste da Razão diz que se esse limite for maior que 1, a série diverge. Como , isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge porque, pelo Teste da Razão, o limite da razão dos termos consecutivos é maior que 1 ( ).

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