Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório) 1/4 + 2/4 + 2^2/4 + 2^3/4 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que fica assim: . Nosso objetivo é escrever essa série usando a notação de somatório, que é uma forma mais compacta de representar uma soma de termos que seguem uma certa regra. Para isso, vamos precisar entender sobre progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da nossa série. Olhando para a série: o primeiro termo é 1/4. Esse é o nosso .

Passo 3

Agora, vamos descobrir a razão da progressão geométrica. A razão ( r) é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Vejamos:
  • De 1/4 para , multiplicamos por 2.
  • De para , multiplicamos por 2 novamente.
  • E assim por diante.
Então, a razão r é 2.

Passo 4

Com o primeiro termo e a razão , podemos escrever o termo geral da série. O termo geral de uma progressão geométrica é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo isso na notação de somatório. A série começa com e vai infinitamente. Então, a forma fechada da série é:

Resposta

A forma fechada da série é:

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