Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que fica assim:
. Nosso objetivo é escrever essa série usando a notação de somatório, que é uma forma mais compacta de representar uma soma de termos que seguem uma certa regra. Para isso, vamos precisar entender sobre progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da nossa série. Olhando para a série: o primeiro termo é
. Esse é o nosso
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a razão da progressão geométrica. A razão (
) é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Vejamos:
- De
para , multiplicamos por 2. - De
para , multiplicamos por 2 novamente. - E assim por diante.
Então, a razão
é 2.
Passo 4
Com o primeiro termo
e a razão
, podemos escrever o termo geral da série. O termo geral de uma progressão geométrica é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo isso na notação de somatório. A série começa com
e vai infinitamente. Então, a forma fechada da série é:
Resposta
A forma fechada da série é: