Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série infinita
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da série representa. A expressão
envolve o cosseno de
vezes
. Vamos calcular alguns valores para ver o padrão:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Percebemos que os termos da série alternam entre 1 e -1.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre o que precisa acontecer para uma série infinita convergir. Uma condição essencial é que o termo geral da série deve tender a zero conforme
cresce para o infinito. Matematicamente, isso significa que:
Passo 4
Vamos verificar se essa condição é satisfeita. Observamos que, conforme calculamos nos passos anteriores,
sempre resulta em 1 ou -1, não se aproximando de zero. Ou seja:
Passo 5
Dado que o limite dos termos não é zero, podemos concluir, usando o Teste da Divergência, que a série não converge. Em outras palavras, não existe um valor finito para a soma dessa série porque ela continua alternando sem se estabilizar.
Resposta
A série
diverge, pois os termos não tendem a zero à medida que
aumenta.