Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=0^infty cos n pi

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série infinita sumn=0^infty cos n pi. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da série representa. A expressão cos n pi envolve o cosseno de n vezes pi. Vamos calcular alguns valores para ver o padrão:
  • Quando n = 0: cos 0 pi = cos 0 = 1
  • Quando n = 1: cos 1 pi = cos pi = -1
  • Quando n = 2: cos 2 pi = cos 2pi = 1
  • Quando n = 3: cos 3 pi = cos 3pi = -1
Percebemos que os termos da série alternam entre 1 e -1.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre o que precisa acontecer para uma série infinita convergir. Uma condição essencial é que o termo geral da série deve tender a zero conforme n cresce para o infinito. Matematicamente, isso significa que:
limn to infty cos n pi = 0

Passo 4

Vamos verificar se essa condição é satisfeita. Observamos que, conforme calculamos nos passos anteriores, cos n pi sempre resulta em 1 ou -1, não se aproximando de zero. Ou seja:
limn to infty cos n pi não existe porque oscila entre 1 e -1 ã

Passo 5

Dado que o limite dos termos não é zero, podemos concluir, usando o Teste da Divergência, que a série não converge. Em outras palavras, não existe um valor finito para a soma dessa série porque ela continua alternando sem se estabilizar.

Resposta

A série sumn=0^infty cos n pi diverge, pois os termos não tendem a zero à medida que n aumenta.

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