Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
  1. sumn=1^infty n^raiz22^n

Passo 1

A gente tem a série sumn=1^infty n^raiz22^n. O tema aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos precisar de testes de convergência, como o teste da razão (e, como alternativa, o teste da raiz) para decidir se ela converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo an = n^raiz22^n, calculamos o quociente entre termos sucessivos:
an+1an = (n+1)^raiz2/2^n+1n^raiz2/2^n = (n+1)^raiz2n^raiz2 cdot 12 = (1+1n)^raiz2 cdot 12

Passo 3

Quando ntoinfty, temos l(1+tfrac1nr)^raiz2to1, logo
limntoinftyan+1an = 12 < 1
Pelo teste da razão, se esse limite L<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como check extra, podemos usar o teste da raiz. Note que
(an)^1/n = (n^raiz2)^1/n2 = n^raiz2/n2 to 12 < 1, o que também garante convergência absoluta pelo teste da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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