Quais séries sumn=1^infty an definidas pelas fórmulas nos exercícios 27-38 convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
37. an=2^n n!n!(2 n)!

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty an com an = 2^n,(n!)^2(2n)!. Precisamos decidir se ela converge ou diverge. Isso é conteúdo de testes de convergência de séries numéricas, e a ferramenta mais eficiente aqui é o teste da razão.

Passo 2

Vamos calcular an+1an.
an+1an = 2^n+1(n+1)!,(n+1)!(2n+2)!cdot (2n)!2^n,n!,n! = 2(n+1)^2(2n+2)(2n+1) = n+12n+1

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty n+12n+1 = 12
Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente, pois pelo teste da razão o limite do quociente é 1/2 < 1.

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