Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
alpha^2 ux x=ut ; u=binompit^1 / 2 e^-x^2 / 4 a^2 t

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e também para checarmos se uma função específica é solução dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais, um tópico fundamental em cálculo. Para resolver isso, precisamos entender a diferença entre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs), além de saber como substituir a função na equação para verificar se ela satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação diferencial alpha^2 uxx = ut é ordinária ou parcial. Para isso, observamos as derivadas presentes na equação.

Passo 3

Na equação alpha^2 uxx = ut, temos uxx que é a segunda derivada de u em relação a x, e ut que é a derivada de u em relação a t. Como a equação envolve derivadas parciais de u em relação a mais de uma variável independente ( x e t), isso significa que estamos lidando com uma equação diferencial parcial.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função dada u = (pit)^1/2 e^-x^2/(4a^2t) é uma solução da equação diferencial alpha^2 uxx = ut.

Passo 5

Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e t.
Primeiro, calculamos ux e depois uxx.
A derivada de u em relação a x é:
ux = (pit)^1/2 cdot (-2x4a^2t) e^-x^2/(4a^2t) = -(pit)^1/2 cdot (x2a^2t) e^-x^2/(4a^2t)
Agora, a segunda derivada em relação a x:
uxx = -(pit)^1/2 cdot (12a^2t) e^-x^2/(4a^2t) + (pit)^1/2 cdot (x^24a^4t^2) e^-x^2/(4a^2t)
Simplificando:
uxx = (pit)^1/2 cdot e^-x^2/(4a^2t) ( x^24a^4t^2 - 12a^2t )

Passo 6

Agora, calculamos a derivada de u em relação a t, que é ut.
ut = ddt ( (pit)^1/2 e^-x^2/(4a^2t) )
Usando a regra do produto:
ut = ( -12 (pit)^1/2 cdot 1t ) e^-x^2/(4a^2t) + (pit)^1/2 cdot e^-x^2/(4a^2t) cdot ( x^24a^2t^2 )
Simplificando:
ut = (pit)^1/2 e^-x^2/(4a^2t) ( -12t + x^24a^2t^2 )

Passo 7

Agora, comparamos alpha^2 uxx com ut.
alpha^2 uxx = alpha^2 (pit)^1/2 e^-x^2/(4a^2t) ( x^24a^4t^2 - 12a^2t )
Para que u seja uma solução da equação, precisamos que alpha^2 uxx = ut.
Comparando os dois lados:
alpha^2 ( x^24a^4t^2 - 12a^2t ) = ( -12t + x^24a^2t^2 )
Para que as expressões sejam iguais, devemos ter:
alpha^2 = a^2

Passo 8

Portanto, se alpha = a, a igualdade alpha^2 uxx = ut é satisfeita pela função dada.

Resposta

A equação diferencial alpha^2 uxx = ut é uma equação diferencial parcial e a função u = (pit)^1/2 e^-x^2/(4a^2t) é solução da equação quando alpha = a.

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