Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e também para checarmos se uma função específica é solução dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais, um tópico fundamental em cálculo. Para resolver isso, precisamos entender a diferença entre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs), além de saber como substituir a função na equação para verificar se ela satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação diferencial
é ordinária ou parcial. Para isso, observamos as derivadas presentes na equação.
Passo 3
Na equação
, temos
que é a segunda derivada de
em relação a
, e
que é a derivada de
em relação a
. Como a equação envolve derivadas parciais de
em relação a mais de uma variável independente (
e
), isso significa que estamos lidando com uma equação diferencial parcial.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função dada
é uma solução da equação diferencial
.
Passo 5
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos
e depois
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
, que é
.
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, comparamos
com
.
Para que
seja uma solução da equação, precisamos que
.
Comparando os dois lados:
Para que as expressões sejam iguais, devemos ter:
Passo 8
Portanto, se
, a igualdade
é satisfeita pela função dada.
Resposta
A equação diferencial
é uma equação diferencial parcial e a função
é solução da equação quando
.