Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{10^{n}}
O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas e o que vamos precisar é o critério de convergência para séries geométricas: se uma série tem termo geral a_n = ar^{n-1} com \lvert r\rvert<1, então ela converge e sua soma é a/(1-r).

Passo 2

Aqui podemos reescrever o termo geral no formato de progressão geométrica. Para isso note que
\frac{2}{10^{n}} = 2\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{n} = \underbrace{\frac{2}{10}}_{a}\,\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^{\,n-1}.
Portanto a série é geométrica com primeiro termo
a = \frac{2}{10}
e razão
r = \frac{1}{10}.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\bigl\lvert\tfrac{1}{10}\bigr\rvert = 0,1 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma S de uma série geométrica convergente usamos
S = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=\tfrac{2}{10} e r=\tfrac{1}{10}, temos
S = \frac{\tfrac{2}{10}}{1 - \tfrac{1}{10}} = \frac{\tfrac{2}{10}}{\tfrac{9}{10}} = \frac{2}{9}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{2}{9}.

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