Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \cos n \pi

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=0}^{\infty} \cos n\pi
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o crité­rio do termo geral: para que uma série de termos a_n convirja, é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Observamos que
\cos n\pi = (-1)^n.
Logo a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots.

Passo 3

Verificamos o termo geral a_n = (-1)^n. Calculemos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(-1)^n,
que não existe (os valores oscilam entre 1 e -1). Em particular, não tende a zero. Pelo critério do termo geral, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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