(Séries de Taylor e Laurent) Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados:
f(z)=\frac{e^{z}}{z^{2}} em série de Laurent em torno de z=0.

Passo 1

O enunciado pede: expandir a função f(z)=\dfrac{e^{z}}{z^{2}} em série de Laurent em torno de z=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(z)=\dfrac{e^{z}}{z^{2}}.
  • O ponto de expansão (centro) é z=0.
  • Precisa-se da série de Laurent, ou seja, uma série em potências inteiras de z que pode conter termos de potência negativa.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a série de Taylor (Maclaurin) de e^{z} em torno de 0 é conhecida e vale, para todo z,
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Explicando: aqui n! significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (com 0!=1), e a soma dá uma potência de z para cada n. Essa série converge para qualquer z.

Passo 3

Agora usamos essa série de e^{z} e dividimos termo a termo por z^{2}. Fazer isso é legítimo porque a série de e^{z} é válida para todos os z e a divisão por z^{2} simplesmente desloca os expoentes:
\frac{e^{z}}{z^{2}}=\frac{1}{z^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-2}}{n!}.
Aqui cada termo original \dfrac{z^{n}}{n!} virou \dfrac{z^{n-2}}{n!}.

Passo 4

Reescrever a soma mudando o índice ajuda a identificar claramente os coeficientes de cada potência de z. Seja k=n-2. Então n=k+2 e, variando n=0,1,2,\dots, obtemos k=-2,-1,0,1,\dots. Assim
\frac{e^{z}}{z^{2}}=\sum_{k=-2}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k+2)!}.
Isto mostra explicitamente os coeficientes da série de Laurent: para cada k\ge -2 o coeficiente de z^{k} é \dfrac{1}{(k+2)!}.

Passo 5

Escrever os primeiros termos fica bem prático para ver a parte principal (os termos negativos) e a parte regular:
\frac{e^{z}}{z^{2}}=z^{-2}+z^{-1}+\frac{1}{2!}+\frac{z}{3!}+\frac{z^{2}}{4!}+\cdots.
Interpretações úteis para a prova:
  • A parte principal (termos com potências negativas) é z^{-2}+z^{-1}, ou seja, há um polo de ordem 2 em z=0.
  • O coeficiente de z^{-1} é 1, então a resíduo de f em 0 é 1.
  • A série de Laurent converge para todo z\neq 0 (ou seja, na \{z\in\mathbb{C}:0<|z|<\infty\}), porque a série de e^{z} converge para todo z.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumão rápido): sempre que tiver e^{z} dividido por uma potência de z, escreva a série de e^{z} e divida termo a termo. O número de termos negativos na série final indica a ordem do polo; o coeficiente de z^{-1} é o resíduo.

Resposta

\frac{e^{z}}{z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-2}}{n!}=z^{-2}+z^{-1}+\frac{1}{2!}+\frac{z}{3!}+\frac{z^{2}}{4!}+\cdots

Exercícios relacionados