(Séries de Taylor e Laurent) Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados:
em série de Laurent em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede: expandir a função
em série de Laurent em torno de
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de expansão (centro) é
. - Precisa-se da série de Laurent, ou seja, uma série em potências inteiras de
que pode conter termos de potência negativa.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
é conhecida e vale, para todo
,
Explicando: aqui
significa
(com
), e a soma dá uma potência de
para cada
. Essa série converge para qualquer
.
Passo 3
Agora usamos essa série de
e dividimos termo a termo por
. Fazer isso é legítimo porque a série de
é válida para todos os
e a divisão por
simplesmente desloca os expoentes:
Aqui cada termo original
virou
.
Passo 4
Reescrever a soma mudando o índice ajuda a identificar claramente os coeficientes de cada potência de
. Seja
. Então
e, variando
, obtemos
. Assim
Isto mostra explicitamente os coeficientes da série de Laurent: para cada
o coeficiente de
é
.
Passo 5
Escrever os primeiros termos fica bem prático para ver a parte principal (os termos negativos) e a parte regular:
Interpretações úteis para a prova:
- A parte principal (termos com potências negativas) é
, ou seja, há um polo de ordem em . - O coeficiente de
é , então a resíduo de em é . - A série de Laurent converge para todo
(ou seja, na ), porque a série de converge para todo .
Passo 6
Dica prática para a prova (resumão rápido): sempre que tiver
dividido por uma potência de
, escreva a série de
e divida termo a termo. O número de termos negativos na série final indica a ordem do polo; o coeficiente de
é o resíduo.