Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
f(z)=\frac{1}{z^{2}+a^{2}} em z=i a.

Passo 1

O enunciado pede o resíduo da função f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+a^{2}} no ponto z=i a. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+a^{2}}.
  • O ponto onde se quer o resíduo é z_{0}=i a.
  • Deve-se assumir a\neq 0 (se a=0 o problema muda: a singularidade seria em z=0 e de ordem diferente).

Passo 2

Identificar as singularidades e sua natureza:
  • Fatorando o denominador temos
z^{2}+a^{2}=(z-i a)(z+i a).
  • Portanto as singularidades (pólos) são z=i a e z=-i a.
  • Cada fator é linear e distinto se a\neq 0, logo ambos são pólos simples (de ordem 1).

Passo 3

Lembrete didático: definição e fórmula prática para pólo simples.
  • O resíduo de f em z_{0} é o coeficiente de (z-z_{0})^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de z_{0}.
  • Para um pólo simples em z_{0} existe uma fórmula simples e muito usada:
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).
  • Justificativa curta e intuitiva: perto de um pólo simples f(z)=\dfrac{A}{z-z_{0}}+g(z) com g holomorfa; multiplicando por (z-z_{0}) e tomando limite obtém-se A, que é exatamente o resíduo.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Escrever f usando a fatoração do denominador:
f(z)=\frac{1}{(z-i a)(z+i a)}.
  • Usar a fórmula para pólo simples em z_{0}=i a:
\operatorname{Res}\bigl(f,i a\bigr)=\lim_{z\to i a}(z-i a)\frac{1}{(z-i a)(z+i a)} =\lim_{z\to i a}\frac{1}{z+i a}.
  • Avaliando o limite em z=i a
\operatorname{Res}\bigl(f,i a\bigr)=\frac{1}{i a + i a}=\frac{1}{2 i a}.

Passo 5

Simplificar a expressão (forma alternativa útil).
  • Usando \dfrac{1}{i}=-i obtemos a forma equivalente
\frac{1}{2 i a}=-\frac{i}{2 a}.
  • Ambas são corretas; a segunda é muitas vezes mais conveniente se a for real.

Resposta

\dfrac{1}{2 i a} = -\dfrac{i}{2 a}

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