Determine o resíduo no ponto indicado para cada função (Fonte: Arfken, Cap. 7):
em
.
Passo 1
O enunciado pede o resíduo da função
no ponto
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde se quer o resíduo é
. - Deve-se assumir
(se o problema muda: a singularidade seria em e de ordem diferente).
Passo 2
Identificar as singularidades e sua natureza:
- Fatorando o denominador temos
- Portanto as singularidades (pólos) são
e . - Cada fator é linear e distinto se
, logo ambos são pólos simples (de ordem 1).
Passo 3
Lembrete didático: definição e fórmula prática para pólo simples.
- O resíduo de
em é o coeficiente de na expansão de Laurent de em torno de . - Para um pólo simples em
existe uma fórmula simples e muito usada:
- Justificativa curta e intuitiva: perto de um pólo simples
com holomorfa; multiplicando por e tomando limite obtém-se , que é exatamente o resíduo.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso.
- Escrever
usando a fatoração do denominador:
- Usar a fórmula para pólo simples em
:
- Avaliando o limite em
dá
Passo 5
Simplificar a expressão (forma alternativa útil).
- Usando
obtemos a forma equivalente
- Ambas são corretas; a segunda é muitas vezes mais conveniente se
for real.