(Séries de Taylor e Laurent) Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados:
em série de Laurent para
.
Passo 1
O enunciado pede: expandir a função
em série de Laurent em torno de
, válida na região
.
Informações dadas:
- A função é
. - O centro da expansão é
. - A região de validade pedida é
(ou seja, dentro do disco de raio 1 centrado em 0, excluindo o ponto singular ).
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor em frações parciais para separar a singularidade em
(termo que dá parte principal da série de Laurent) e uma parte que é analítica em torno de 0 (que será expandida em potências de
).
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Para encontrar
e
podemos avaliar em valores convenientes:
- Tomando
: . - Tomando
: .
Logo
Passo 3
Agora vamos expandir cada parcela conforme a região
.
-
O termo
já é a parte principal da série de Laurent (termo singular de ordem em ). Não precisa expandir. -
O termo
é analítico em (pois está fora do disco ), e pode ser reescrito como
Conhecimento útil (fórmula do exame): a série geométrica diz que, para
,
Aqui podemos tomar
porque estamos no disco
. Assim
Passo 4
Juntando as duas parcelas da decomposição parcial:
Podemos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão:
Passo 5
Interpretação dos coeficientes (útil na prova):
- Coeficiente do termo singular
(resíduo em ) é . - Para
, o coeficiente de é . - A série é uma série de Laurent com parte principal de ordem
e parte regular dada pela soma das potências não negativas.