(Séries de Taylor e Laurent) Expanda as funções abaixo em torno dos pontos indicados:
f(z)=\frac{1}{z(z-1)} em série de Laurent para 0<|z|<1.

Passo 1

O enunciado pede: expandir a função f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)} em série de Laurent em torno de 0, válida na região 0<|z|<1.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}.
  • O centro da expansão é z=0.
  • A região de validade pedida é 0<|z|<1 (ou seja, dentro do disco de raio 1 centrado em 0, excluindo o ponto singular z=0).

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor em frações parciais para separar a singularidade em z=0 (termo que dá parte principal da série de Laurent) e uma parte que é analítica em torno de 0 (que será expandida em potências de z).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}.
Multiplicando por z(z-1) obtemos
1 = A(z-1)+B z.
Para encontrar A e B podemos avaliar em valores convenientes:
  • Tomando z=0: 1 = A(0-1) \Rightarrow A=-1.
  • Tomando z=1: 1 = B\cdot 1 \Rightarrow B=1.
Logo
\frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1}.

Passo 3

Agora vamos expandir cada parcela conforme a região 0<|z|<1.
  • O termo -\dfrac{1}{z} já é a parte principal da série de Laurent (termo singular de ordem 1 em z=0). Não precisa expandir.
  • O termo \dfrac{1}{z-1} é analítico em z=0 (pois z=1 está fora do disco |z|<1), e pode ser reescrito como
\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z}.
Conhecimento útil (fórmula do exame): a série geométrica diz que, para |w|<1,
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}.
Aqui podemos tomar w=z porque estamos no disco |z|<1. Assim
\frac{1}{z-1} = -\sum_{n=0}^{\infty} z^{n},\qquad \text{para }|z|<1.

Passo 4

Juntando as duas parcelas da decomposição parcial:
f(z)= -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1} = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} z^{n}.
Podemos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão:
f(z) = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^{2} - z^{3} - \cdots, \qquad 0<|z|<1.

Passo 5

Interpretação dos coeficientes (útil na prova):
  • Coeficiente do termo singular \dfrac{1}{z} (resíduo em 0) é -1.
  • Para n\ge 0, o coeficiente de z^{n} é -1.
  • A série é uma série de Laurent com parte principal de ordem 1 e parte regular dada pela soma das potências não negativas.

Resposta

f(z)=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}=-\frac{1}{z}-1-z-z^{2}-\cdots,\qquad 0<|z|<1

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