Serviço florestal do estado está conduzindo um estudo das pessoas que usam as estruturas de um camping operado por ele. O estado tem duas áreas de camping, uma localizada nas montanhas e outra localizada ao longo da costa. O serviço florestal deseja estimar o número médio de pessoas por acampamento e a proporção de acampamento ocupada por pessoas de fora do estado, durante o fím de semana em particular, quando se espera que todos os acampamentos estejam ocupados. Sugira um plano amostral e explique rapidamente como devem ser feitos.

Passo 1

O enunciado pede duas estimativas durante um fim de semana em que se espera que todos os acampamentos estejam ocupados:
  1. Estimar o número médio de pessoas por acampamento.
  2. Estimar a proporção de acampamentos ocupados por pessoas de fora do estado.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Existem duas áreas de camping: uma nas montanhas e outra na costa.
  • O levantamento será feito num fim de semana específico quando todos os acampamentos estão ocupados (ou seja, a condição de “ocupado” vale para todos os acampamentos).
  • Não foram fornecidos números totais de acampamentos nem variabilidades prévias.
O que se entende implicitamente e que usaremos:
  • Unidade de amostragem: acampamento (cada acampamento tem um número de pessoas e um indicador “pessoas de fora do estado”).
  • Há duas subpopulações naturais (estratos): montanhas e costa. Vamos explorar um plano que aproveite essa estrutura.

Passo 2

Escolha do tipo de amostragem (explicação didática e motivação)
  • Definição intuitiva: amostragem estratificada significa dividir a população em grupos homogêneos (estratos) e sortear amostras dentro de cada um. Aqui os estratos são as duas áreas: montanhas e costa.
  • Por que usar estratificação aqui? Porque é muito provável que o número médio de pessoas por acampamento e a proporção de visitantes de fora variem entre montanha e costa. Estratificar:
    • aumenta a precisão das estimativas (menor variância) para um dado tamanho de amostra;
    • garante representação adequada de cada área;
    • permite estimativas separadas por área, que podem ser úteis.
  • Alternativas e por que não escolher agora: amostragem por conglomerados ou amostragem simples aleatória única poderiam ser usadas, mas tendem a ter maior variância ou perdem a garantia de representar bem cada área. Então escolhemos amostragem estratificada por ser a mais natural e eficiente neste cenário.

Passo 3

Construção do quadro amostral (frame) — como obter os números que você precisa antes de sortear
  • Liste todos os acampamentos de cada área. Para cada estrato h (onde h=1 = montanhas, h=2 = costa) determine: N_h = \text{número total de acampamentos no estrato } h.ú
  • O total da população é N = N_1 + N_2.
  • Observação prática: se a lista oficial não existir, faça um levantamento administrativo (mapa, cadastro, coordenação regional) para montar essa lista. O plano só funciona com uma lista confiável.

Passo 4

Definição das variáveis a coletar e formato do questionário rápido
  • Para cada acampamento sorteado, registre:
    1. y = número total de pessoas no acampamento no fim de semana (variável quantitativa).
    2. indicador I = 1 se o acampamento tem pessoas de fora do estado (ou se queremos proporção de acampamentos “ocupados por pessoas de fora”, definir claramente: se qualquer pessoa for de fora, I=1; se quisermos proporção de pessoas que são de fora, registrar contagem y_{out}). Pelo enunciado: “proporção de acampamento ocupada por pessoas de fora do estado” — vou supor que a variável desejada é um indicador por acampamento (0/1) se há presença de pessoas de fora.
  • Instrumento: formulário curto com identificação do acampamento, y, I, data e hora da observação, e assinatura do entrevistador.

Passo 5

Como alocar a amostra entre os estratos — teoria e fórmulas (didático)
  • Notação: n = \text{tamanho total da amostra (número de acampamentos a visitar)}.ú
n_h = \text{número de acampamentos a sortear no estrato } h.ú
W_h = \frac{N_h}{N} = \text{peso do estrato } h.
S_h = \text{desvio-padrão dentro do estrato } h \text{ (da variável quantitativa } y).ãá
  • Duas regras práticas:
    1. Se você tem informações prévias sobre variabilidade por estrato (ou puder fazer um piloto), use a alocação de Neyman (alocação ótima em termos de variância para estimator de média), que dá:
    n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum_{k} N_k S_k}.Explicação: estratos com mais unidades ( N_h) e maior variabilidade ( S_h) recebem mais amostras.
    2. Se não tem estimativas de S_h disponíveis, use alocação proporcional: n_h = n \cdot W_h = n \cdot \frac{N_h}{N}.Raciocínio prático: proporcional é simples e geralmente melhora sobre SRS quando estratos têm tamanhos diferentes.

Passo 6

Como escolher o tamanho total n — fórmulas e recomendações práticas
  • Para estimar a média total \mu com margem de erro d (metade da largura do intervalo) e nível de confiança 1-\alpha, uma referência (SRS) é: n \approx \left(\frac{z_{1-\alpha/2} \, S}{d}\right)^2,onde S é uma estimativa do desvio-padrão da população e z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal (por exemplo z_{0,975}=1,96 para 95%).
  • Para proporção p (no caso do indicador I), a fórmula aproximada (SRS) é: n \approx \frac{z_{1-\alpha/2}^2 \, p(1-p)}{d^2}.Se p é desconhecido, use p=0{,}5 para ser conservador (maximiza a variância).
  • Em amostragem estratificada com alocação ótima, o cálculo exato de n pode envolver os S_h. Procedimento prático:
    1. Faça um pequeno pré-teste (pilot) de, por exemplo, 10 a 30 acampamentos distribuídos entre estratos para estimar S_h e p_h.
    2. Use as fórmulas de variância estratificada (ver Passo 8) e escolha n tal que a variância estimada da estimativa desejada dê a margem de erro d desejada.
  • Recomendações práticas (sem números fornecidos): escolha 95% de confiança ( z=1{,}96). Se quiser margem de erro para a média de ±0,3 pessoas, calcule n com a fórmula da média; para proporção, escolha d por exemplo ±0,05 (5%). Se recursos forem limitados, priorize a precisão da estimativa mais importante (média ou proporção).

Passo 7

Procedimento de sorteio prático dentro de cada estrato
  • Uma vez fixados n_h:
    1. Numere todos os N_h acampamentos de cada estrato.
    2. Use amostragem aleatória simples sem reposição dentro do estrato: gere n_h números aleatórios (por computador ou tabela aleatória) para selecionar quais acampamentos visitar.
    3. Registre o número e identifique substitutos somente em caso de impossibilidade real de coletar (ex.: acampamento inacessível); registrar motivo. Idealmente evitar substituições para não introduzir viés.
  • Organização logística: agrupar acampamentos selecionados por rota para economizar tempo; treinar equipes para aplicar o formulário padronizado em um horário similar do fim de semana (por ex., sábado à tarde) para manter comparabilidade.

Passo 8

Estimadores e fórmulas de variância (como calcular depois de coletar os dados)
  • Estimador estratificado da média por acampamento: \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^2 W_h \bar{y}_h,onde \bar{y}_h é a média amostral no estrato h e W_h = N_h/N.
  • Estimador estratificado da proporção de acampamentos com pessoas de fora: \hat{p}_{st} = \sum_{h=1}^2 W_h \hat{p}_h,onde \hat{p}_h é a proporção amostral de acampamentos com I=1 no estrato h.
  • Variância aproximada do estimador estratificado da média: \widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^2 W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h},onde s_h^2 é a variância amostral no estrato h. A raiz quadrada dá o erro padrão.
  • Variância aproximada do estimador estratificado da proporção: \widehat{\operatorname{Var}}(\hat{p}_{st}) = \sum_{h=1}^2 W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{\hat{p}_h(1-\hat{p}_h)}{n_h}.
  • Intervalo de confiança usual (aproximação Normal) para a média: \bar{y}_{st} \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_{st})}.Para proporção, mesmo formato substituindo a variância correspondente.
  • Observação sobre correção de população finita: o fator \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right) acima já incorpora a correção quando amostragem é sem reposição.

Passo 9

Coleta de dados, controle de qualidade e cuidados práticos
  • Treine entrevistadores para contar pessoas de modo consistente (incluir staff, crianças, visitantes temporários? padronizar).
  • Registrar horário da observação (por ex., sábado às 16h) para comparar acampamentos em momento similar.
  • Evitar viés de não resposta: se houver recusa de informar número de pessoas, registrar e, se possível, observar visualmente; documentar recusas.
  • Registrar se mais detalhes forem necessários (por ex., número de pessoas de fora y_{out} se a autoridade também quiser estimar proporção de pessoas, não só de acampamentos).
  • Fazer dupla checagem das entradas no eletrônico ou papel para evitar erros de digitação.

Passo 10

Procedimento final de análise e recomendações extras
  • Calcule \bar{y}_h, s_h^2 e \hat{p}_h para cada estrato; combine usando as fórmulas do Passo 8.
  • Apresente resultados com intervalo de confiança e o tamanho amostral por estrato.
  • Se houver recursos, faça um piloto (10–30 acampamentos) para estimar S_h e p_h e refinar n e alocação (ver Passo 6).
  • Se o número total de acampamentos N for pequeno (por ex., menos de 100) e recursos permitirem, considerar um censo (visitar todos) já que todos estarão ocupados — isso elimina erro amostral.

Resposta

Plano amostral: usar amostragem estratificada com dois estratos (montanhas e costa); montar quadro com N_1,N_2; decidir n por objetivo de margem de erro (usar fórmulas para média e proporção ou fazer piloto); alocar n_h por alocação de Neyman n_h=n\frac{N_h S_h}{\sum N_k S_k} se houver S_h, ou proporcional n_h=n\frac{N_h}{N} se não houver; dentro de cada estrato selecionar n_h acampamentos por amostragem aleatória simples sem reposição; em cada acampamento registrar y = número de pessoas e indicador I = 1 se há pessoas de fora; estimar a média por \bar{y}_{st}=\sum W_h\bar{y}_h e a proporção por \hat{p}_{st}=\sum W_h\hat{p}_h, calcular variâncias estratificadas e intervalos de confiança conforme as fórmulas dadas; fazer piloto e controles de qualidade; se N for pequeno e recursos permitirem, considerar censo.

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