Um servidor de rede apresenta falhas em transmissões com probabilidade de 0,005 .
(a) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente na
transmissão?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a
transmissão?
(c) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transmissões até a primeira falha. Interprete os resultados.
(a) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente na
(b) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a
(c) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transmissões até a primeira falha. Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado dá que a cada transmissão há probabilidade de falha
. As perguntas são:
- (a) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente na
transmissão? - (b) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a
transmissão (ou seja, em uma das transmissões )? - (c) Calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de transmissões até a primeira falha e interpretar os resultados.
Informações relevantes dadas:
- Probabilidade de falha por transmissão:
. - Estamos interessados no número de transmissões até a primeira ocorrência de uma “falha” (evento com probabilidade
).
Passo 2
Escolhendo o modelo: quando contamos o número de tentativas até a primeira ocorrência de algo com probabilidade fixa
e tentativas independentes, o modelo adequado é a distribuição geométrica (na convenção “número de ensaios até o primeiro sucesso”). Denotando por
o número de transmissões até a primeira falha, temos:
-
. - A função massa de probabilidade (pmf) é
Explicando por que: para a primeira falha ocorrer exatamente na
-ésima transmissão é preciso que as primeiras
transmissões tenham sido bem-sucedidas (sem falha), cada uma com probabilidade
, e a
-ésima seja falha (probabilidade
). Como as transmissões são independentes, multiplica-se as probabilidades.
Passo 3
Fórmula acumulada (CDF) útil: a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a
-ésima transmissão é
Explicação:
significa que não houve falha nas primeiras
transmissões, o que tem probabilidade
. Então a probabilidade complementar dá
.
Passo 4
Calcular (a) usando a pmf. Tomando
e
, escrevemos
Definindo
, fica
Agora calculamos numericamente
. Uma forma precisa e simples é usar a expansão binomial ou logaritmos; usando expansão até termos significativos obtém-se
Multiplicando por
,
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 5
Calcular (b) usando a CDF encontrada. Queremos
. Com
e
,
Calculando
pela expansão binomial (mantendo termos relevantes):
logo
Assim, a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a
transmissão é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 6
Calcular o valor esperado
. Para a geométrica (convenção “nº de ensaios até o primeiro sucesso”) existe a identidade conhecida
Vou mostrar rapidamente uma derivação curta e didática: comece da série
onde
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Multiplicando por
(porque a pmf tem fator
),
Como
, isso dá
. Substituindo
,
Interpretação numérica: em média espera-se que ocorram
transmissões até observar a primeira falha.
Passo 7
Calcular a variância e o desvio padrão. Fórmulas conhecidas (e deriváveis por diferenciação duas vezes das séries) são:
Derivação rápida: diferenciando a série outra vez obtém-se uma expressão para
que, multiplicada por
e arrumada, leva a
. Daí
e
.
Substituindo
e
,
O desvio padrão é
Passo 8
Interpretação dos resultados (resumo e sentido prático):
-
: em média espera-se que a primeira falha ocorra por volta da transmissão . Isso faz sentido porque a probabilidade por transmissão é pequena ( ), então demora bastante, em média, até a primeira falha. -
: o desvio padrão é aproximadamente do mesmo tamanho da média, indicando grande variabilidade no número de transmissões até a primeira falha. Na prática isso significa que, embora a média seja , há muita dispersão: às vezes a falha pode ocorrer bem antes (por exemplo, dentro das primeiras dezenas de transmissões) e às vezes muito depois (centenas ou milhares). A distribuição é assimetricamente inclinada para a direita (cauda longa): eventos de poucos ensaios têm probabilidade pequena, mas possíveis; também é possível demorar muito além da média.
Força aí — o trecho acima resume como usar a distribuição geométrica para esse tipo de problema e o que os números significam.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)