Um servidor de rede apresenta falhas em transmissões com probabilidade de 0,005 .
(a) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente na 20^{\mathrm{a}} transmissão?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a 10^{\mathrm{a}} transmissão?
(c) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transmissões até a primeira falha. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá que a cada transmissão há probabilidade de falha p=0,005. As perguntas são:
  • (a) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra exatamente na 20^{\mathrm{a}} transmissão?
  • (b) Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a 10^{\mathrm{a}} transmissão (ou seja, em uma das transmissões 1,2,\dots,10)?
  • (c) Calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de transmissões até a primeira falha e interpretar os resultados.
Informações relevantes dadas:
  • Probabilidade de falha por transmissão: p=0,005.
  • Estamos interessados no número de transmissões até a primeira ocorrência de uma “falha” (evento com probabilidade p).

Passo 2

Escolhendo o modelo: quando contamos o número de tentativas até a primeira ocorrência de algo com probabilidade fixa p e tentativas independentes, o modelo adequado é a distribuição geométrica (na convenção “número de ensaios até o primeiro sucesso”). Denotando por X o número de transmissões até a primeira falha, temos:
  • X\in\{1,2,3,\dots\}.
  • A função massa de probabilidade (pmf) é
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
Explicando por que: para a primeira falha ocorrer exatamente na k-ésima transmissão é preciso que as primeiras k-1 transmissões tenham sido bem-sucedidas (sem falha), cada uma com probabilidade 1-p, e a k-ésima seja falha (probabilidade p). Como as transmissões são independentes, multiplica-se as probabilidades.

Passo 3

Fórmula acumulada (CDF) útil: a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a k-ésima transmissão é
P(X\le k)=1-P(X>k)=1-(1-p)^k.
Explicação: P(X>k) significa que não houve falha nas primeiras k transmissões, o que tem probabilidade (1-p)^k. Então a probabilidade complementar dá P(X\le k).

Passo 4

Calcular (a) usando a pmf. Tomando k=20 e p=0,005, escrevemos
P(X=20)=(1-p)^{19}p.
Definindo q=1-p=0,995, fica
P(X=20)=0,995^{19}\cdot 0,005.
Agora calculamos numericamente 0,995^{19}. Uma forma precisa e simples é usar a expansão binomial ou logaritmos; usando expansão até termos significativos obtém-se
0,995^{19}\approx 0,909204\quad\text{(aprox.)}.
Multiplicando por 0,005,
P(X=20)\approx 0,909204\cdot 0,005\approx 0,004546.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0,004546 (ou cerca de 0,4546\%).

Passo 5

Calcular (b) usando a CDF encontrada. Queremos P(X\le 10)=1-(1-p)^{10}. Com p=0,005 e q=0,995,
P(X\le 10)=1-0,995^{10}.
Calculando 0,995^{10} pela expansão binomial (mantendo termos relevantes):
0,995^{10}\approx 0,95111013\quad\text{(aprox.)},
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P(X\le 10)\approx 1-0,95111013\approx 0,0488899.
Assim, a probabilidade de que a primeira falha ocorra até a 10^{\mathrm{a}} transmissão é aproximadamente 0,04889 (ou cerca de 4,889\%).

Passo 6

Calcular o valor esperado E[X]. Para a geométrica (convenção “nº de ensaios até o primeiro sucesso”) existe a identidade conhecida
E[X]=\frac{1}{p}.
Vou mostrar rapidamente uma derivação curta e didática: comece da série
\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q},
onde q=1-p. Diferenciando ambos os lados em relação a q obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}k q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}.
Multiplicando por p (porque a pmf tem fator p),
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty}k\,p\,q^{k-1}=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}.
Como 1-q=p, isso dá E[X]=p/(p^2)=1/p. Substituindo p=0,005,
E[X]=\frac{1}{0,005}=200.
Interpretação numérica: em média espera-se que ocorram 200 transmissões até observar a primeira falha.

Passo 7

Calcular a variância e o desvio padrão. Fórmulas conhecidas (e deriváveis por diferenciação duas vezes das séries) são:
\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}, \qquad \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\frac{\sqrt{1-p}}{p}.
Derivação rápida: diferenciando a série outra vez obtém-se uma expressão para \sum k(k-1)q^{k-2} que, multiplicada por p e arrumada, leva a E[X(X-1)]=\dfrac{2q}{p^2}. Daí E[X^2]=E[X(X-1)]+E[X]=\dfrac{1+q}{p^2} e \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\dfrac{q}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}.
Substituindo p=0,005 e 1-p=0,995,
\operatorname{Var}(X)=\frac{0,995}{(0,005)^2}=\frac{0,995}{0,000025}=39800.
O desvio padrão é
\sigma_X=\sqrt{39800}\approx 199,499\approx 199,50.

Passo 8

Interpretação dos resultados (resumo e sentido prático):
  • E[X]=200: em média espera-se que a primeira falha ocorra por volta da transmissão 200. Isso faz sentido porque a probabilidade por transmissão é pequena ( 0,5\%), então demora bastante, em média, até a primeira falha.
  • \sigma_X\approx 199,50: o desvio padrão é aproximadamente do mesmo tamanho da média, indicando grande variabilidade no número de transmissões até a primeira falha. Na prática isso significa que, embora a média seja 200, há muita dispersão: às vezes a falha pode ocorrer bem antes (por exemplo, dentro das primeiras dezenas de transmissões) e às vezes muito depois (centenas ou milhares). A distribuição é assimetricamente inclinada para a direita (cauda longa): eventos de poucos ensaios têm probabilidade pequena, mas possíveis; também é possível demorar muito além da média.
Força aí — o trecho acima resume como usar a distribuição geométrica para esse tipo de problema e o que os números significam.

Resposta

(a) P(X=20)\approx 0,004546.
(b) P(X\le 10)\approx 0,04889.
(c) E[X]=200,\\ \sigma_X\approx 199,50.

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