Um engenheiro está monitorando o número de falhas em um sistema de resfriamento de reatores que ocorrem, em média, 2 vezes por semana.
Qual é a probabilidade de não ocorrerem falhas em uma semana?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação dada: a média de falhas por semana é \lambda = 2 (ou seja, em média ocorrem \,2 falhas por semana).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de não ocorrerem falhas em uma semana (isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente 0 falhas no intervalo de uma semana)?

Passo 2

Por que vamos modelar isso com uma distribuição apropriada e qual é a fórmula que vamos usar?
Quando temos contagem de eventos que ocorrem ao longo de um intervalo de tempo (ou espaço) com uma taxa média conhecida e os eventos são raros e ocorrências independentes, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A Poisson é perfeita para “número de ocorrências em um intervalo” quando só se conhece a média.
A função de massa de probabilidade da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo (aqui: número de falhas em uma semana),
  • \lambda é a média de eventos no mesmo intervalo (aqui \lambda=2),
  • k é o número de eventos que queremos a probabilidade (aqui k=0),
  • k! é o fatorial de k (por definição 0! = 1),
  • e é a constante de Euler (aprox. 2,71828\ldots).
Explicando de forma bem prática: para k=0 a fórmula fica muito simples porque \lambda^{0}=1 e 0!=1, então
P(X=0)=e^{-\lambda}.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: substituir \lambda = 2 e k=0.
P(X=0)=e^{-2}.
Agora uma aproximação numérica para ter um valor mais palpável: como e\approx 2,71828, tem-se e^{2}\approx 7,38906 e portanto
e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}\approx\frac{1}{7,38906}\approx0,1353352832\ldots
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais, obtemos 0,1353.

Passo 4

Interpretação final e dica de prova: a probabilidade de não ocorrer nenhuma falha em uma semana é e^{-2}, cerca de 13{,}53\%. Na prova, basta lembrar que para Poisson com média \lambda a probabilidade de zero ocorrências é e^{-\lambda}; aqui \lambda=2.
Você está indo bem — respirar fundo ajuda. Lembre-se: reconhecer que o problema é de contagem por intervalo já leva direto para Poisson na maioria das provas.

Resposta

e^{-2}\approx0,1353

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