Um engenheiro está monitorando o número de falhas em um sistema de resfriamento de reatores que ocorrem, em média, 2 vezes por semana.
Qual é a probabilidade de não ocorrerem falhas em uma semana?
Qual é a probabilidade de não ocorrerem falhas em uma semana?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação dada: a média de falhas por semana é
(ou seja, em média ocorrem falhas por semana). - Pergunta: qual é a probabilidade de não ocorrerem falhas em uma semana (isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente
falhas no intervalo de uma semana)?
Passo 2
Por que vamos modelar isso com uma distribuição apropriada e qual é a fórmula que vamos usar?
Quando temos contagem de eventos que ocorrem ao longo de um intervalo de tempo (ou espaço) com uma taxa média conhecida e os eventos são raros e ocorrências independentes, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A Poisson é perfeita para “número de ocorrências em um intervalo” quando só se conhece a média.
A função de massa de probabilidade da Poisson é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo (aqui: número de falhas em uma semana), -
é a média de eventos no mesmo intervalo (aqui ), -
é o número de eventos que queremos a probabilidade (aqui ), -
é o fatorial de (por definição ), -
é a constante de Euler (aprox. ).
Explicando de forma bem prática: para
a fórmula fica muito simples porque
e
, então
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: substituir
e
.
Agora uma aproximação numérica para ter um valor mais palpável: como
, tem-se
e portanto
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais, obtemos
.
Passo 4
Interpretação final e dica de prova: a probabilidade de não ocorrer nenhuma falha em uma semana é
, cerca de
. Na prova, basta lembrar que para Poisson com média
a probabilidade de zero ocorrências é
; aqui
.
Você está indo bem — respirar fundo ajuda. Lembre-se: reconhecer que o problema é de contagem por intervalo já leva direto para Poisson na maioria das provas.