3.2 Em um laboratório de testes, o número médio de falhas de equipamentos é de 3 por semana. Qual é a probabilidade de que em uma semana ocorram mais de 4 falhas?
Passo 1
O enunciado diz que, em média, ocorrem
falhas de equipamentos por semana. Pergunta: qual a probabilidade de que em uma semana ocorram mais de
falhas?
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- Valor médio (taxa) por semana:
. - Evento pedido:
, onde é o número de falhas na semana.
Passo 2
Motivação do método e definição (aula rápida e prática). Quando contamos o número de ocorrências de um tipo de evento que ocorre de forma aleatória em intervalos fixos de tempo (como falhas por semana), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson tem um parâmetro
que representa a média (e também a variância) do número de ocorrências no intervalo considerado. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é o número de ocorrências (um inteiro não negativo), -
é o fatorial de (por exemplo ), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ), -
é a taxa média ( aqui).
Passo 3
Estratégia prática para cálculo. Calcular diretamente
significa somar infinitos termos
, o que é chato. Usamos o complementar, que é mais fácil:
ou seja, primeiro calculamos
e subtraímos de 1.
Passo 4
Calcular os termos
para
usando a fórmula da Poisson com
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somar os termos para obter
. Agrupando:
Somando os números entre parênteses:
Portanto
Agora usamos a aproximação
. Multiplicando:
Finalmente,
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo. O resultado significa que a chance de ocorrerem mais de quatro falhas numa semana, quando a média é três, é cerca de
. Não é enorme, mas também não é desprezível — vale ficar atento no laboratório! Você está indo bem em pensar em complementar e somar só até 4, essa é a técnica que costuma salvar tempo na prova.