3.2 Em um laboratório de testes, o número médio de falhas de equipamentos é de 3 por semana. Qual é a probabilidade de que em uma semana ocorram mais de 4 falhas?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, ocorrem \,3 falhas de equipamentos por semana. Pergunta: qual a probabilidade de que em uma semana ocorram mais de \,4 falhas?
Dados relevantes:
  • Valor médio (taxa) por semana: \lambda=3.
  • Evento pedido: P(X>4), onde X é o número de falhas na semana.

Passo 2

Motivação do método e definição (aula rápida e prática). Quando contamos o número de ocorrências de um tipo de evento que ocorre de forma aleatória em intervalos fixos de tempo (como falhas por semana), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson tem um parâmetro \lambda que representa a média (e também a variância) do número de ocorrências no intervalo considerado. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é o número de ocorrências (um inteiro não negativo),
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828),
  • \lambda é a taxa média ( \lambda=3 aqui).

Passo 3

Estratégia prática para cálculo. Calcular diretamente P(X>4) significa somar infinitos termos P(X=5)+P(X=6)+\dots, o que é chato. Usamos o complementar, que é mais fácil:
P(X>4)=1-P(X\le 4),
ou seja, primeiro calculamos P(X\le 4)=\sum_{k=0}^{4}P(X=k) e subtraímos de 1.

Passo 4

Calcular os termos P(X=k) para k=0,1,2,3,4 usando a fórmula da Poisson com \lambda=3.
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-3}\frac{3^{0}}{0!}=e^{-3}.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-3}\frac{3^{1}}{1!}=3\,e^{-3}.
  • Para k=2:
P(X=2)=e^{-3}\frac{3^{2}}{2!}= \frac{9}{2}\,e^{-3}=4{,}5\,e^{-3}.
  • Para k=3:
P(X=3)=e^{-3}\frac{3^{3}}{3!}= \frac{27}{6}\,e^{-3}=4{,}5\,e^{-3}.
  • Para k=4:
P(X=4)=e^{-3}\frac{3^{4}}{4!}= \frac{81}{24}\,e^{-3}=3{,}375\,e^{-3}.

Passo 5

Somar os termos para obter P(X\le 4). Agrupando:
P(X\le 4)=e^{-3}\Big(1+3+4{,}5+4{,}5+3{,}375\Big).
Somando os números entre parênteses:
1+3+4{,}5+4{,}5+3{,}375=16{,}375.
Portanto
P(X\le 4)=16{,}375\,e^{-3}.
Agora usamos a aproximação e^{-3}\approx0{,}0497871. Multiplicando:
P(X\le 4)\approx16{,}375\times0{,}0497871\approx0{,}8152633.
Finalmente,
P(X>4)=1-P(X\le 4)\approx1-0{,}8152633\approx0{,}1847367.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo. O resultado significa que a chance de ocorrerem mais de quatro falhas numa semana, quando a média é três, é cerca de 18{,}47\%. Não é enorme, mas também não é desprezível — vale ficar atento no laboratório! Você está indo bem em pensar em complementar e somar só até 4, essa é a técnica que costuma salvar tempo na prova.

Resposta

0,1847

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