Sete bolas são retiradas aleatoriamente de uma urna que contém 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas. Determine a probabilidade de que: 3 bolas vermelhas, 2 azuis e 2 bolas pretas sejam sacadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma urna com 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas, totalizando 46 bolas. Queremos saber a probabilidade de, ao retirar 7 bolas, pegar exatamente 3 vermelhas, 2 azuis e 2 pretas. Para resolver isso, vamos usar combinações, que nos ajudam a contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher bolas sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos ver de quantas formas podemos escolher 3 bolas vermelhas das 12 disponíveis. Usamos a combinação $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $, onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens que queremos escolher.
Então, há 220 maneiras de escolher 3 vermelhas.
Passo 3
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 bolas azuis das 16 disponíveis.
Temos 120 maneiras de escolher 2 azuis.
Passo 4
Em seguida, vamos ver de quantas formas podemos escolher 2 bolas pretas das 18 disponíveis.
Há 153 maneiras de escolher 2 pretas.
Passo 5
Agora, precisamos saber o número total de maneiras de escolher 7 bolas de 46 na urna, sem restrição de cor.
Existem 9.366.819 maneiras de escolher 7 bolas no total.
Passo 6
Para encontrar a probabilidade desejada, multiplicamos as combinações das bolas vermelhas, azuis e pretas e dividimos pelo total de combinações possíveis.
Resposta
A probabilidade de retirar exatamente 3 bolas vermelhas, 2 azuis e 2 pretas ao escolher 7 bolas é aproximadamente 42,4%.