Sete bolas são retiradas aleatoriamente de uma urna que contém 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas. Determine a probabilidade de que: 3 bolas vermelhas, 2 azuis e 2 bolas pretas sejam sacadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma urna com 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas, totalizando 46 bolas. Queremos saber a probabilidade de, ao retirar 7 bolas, pegar exatamente 3 vermelhas, 2 azuis e 2 pretas. Para resolver isso, vamos usar combinações, que nos ajudam a contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher bolas sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos ver de quantas formas podemos escolher 3 bolas vermelhas das 12 disponíveis. Usamos a combinação $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $, onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens que queremos escolher.
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Então, há 220 maneiras de escolher 3 vermelhas.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 bolas azuis das 16 disponíveis.
C(16, 2) = 16!2! times (16-2)! = 16 times 152 times 1 = 120
Temos 120 maneiras de escolher 2 azuis.

Passo 4

Em seguida, vamos ver de quantas formas podemos escolher 2 bolas pretas das 18 disponíveis.
C(18, 2) = 18!2! times (18-2)! = 18 times 172 times 1 = 153
153 maneiras de escolher 2 pretas.

Passo 5

Agora, precisamos saber o número total de maneiras de escolher 7 bolas de 46 na urna, sem restrição de cor.
C(46, 7) = 46!7! times (46-7)! approx 9.366.819
Existem 9.366.819 maneiras de escolher 7 bolas no total.

Passo 6

Para encontrar a probabilidade desejada, multiplicamos as combinações das bolas vermelhas, azuis e pretas e dividimos pelo total de combinações possíveis.
P = C(12, 3) times C(16, 2) times C(18, 2)C(46, 7) = 220 times 120 times 1539.366.819 approx 0,424 ou 42,4%

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 3 bolas vermelhas, 2 azuis e 2 pretas ao escolher 7 bolas é aproximadamente 42,4%.

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