Um sistema automático de alarme contra incêndios utiliza três sensores de calor que agem independentemente um do outro. Cada sensor entra em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura ambiente atinge
. Se pelo menos um dos sensores entrar em funcionamento o alarme é acionado. Calcule a probabilidade de que o alarme seja acionado quando a temperatura ambiente atingir
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sistema de alarme contra incêndios que usa três sensores de calor. Cada sensor tem 80% de chance de entrar em funcionamento quando a temperatura chega a
. A gente precisa descobrir a probabilidade do alarme ser acionado, ou seja, quando pelo menos um desses sensores estiver funcionando. Vamos usar conceitos de probabilidade e eventos independentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “eventos independentes”. Isso quer dizer que o funcionamento de um sensor não interfere no funcionamento dos outros. Então, a chance de um sensor não funcionar é complementar à chance de ele funcionar. Se a chance de funcionar é 0,8, a chance de não funcionar é
.
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de pelo menos um sensor funcionar. Às vezes, é mais fácil calcular o contrário: a probabilidade de nenhum sensor funcionar e depois subtrair esse valor de 1. Vamos fazer isso!
Passo 4
A probabilidade de um sensor não funcionar é 0,2. Como os sensores são independentes, a probabilidade de todos os três não funcionarem é
.
Passo 5
Então, a probabilidade de pelo menos um sensor funcionar (ou seja, o alarme ser acionado) é
.
Resposta
A probabilidade de o alarme ser acionado quando a temperatura atingir
é 0,992 ou 99,2%.