Uma linha de montagem de veículos utiliza uma tecnologia de proporções fixas (Leontief) descrita pela função de produção:
onde
representa o número de robôs industriais (Capital) e
o número de operadores (Trabalho). Esta função é consistente com o requisito técnico de dois operadores por robô para manter a produção sincronizada.
Os custos unitários dos insumos são:
- Custo por robô
mês
- Custo por operador
A meta de produção da empresa é
veículos por mês.
(a) Represente graficamente a isoquanta correspondente ao nível de produção
. Indique claramente as coordenadas do vértice (combinação eficiente de insumos).
(b) Determine a combinação ótima de insumos
que minimiza o custo total mensal necessário para produzir os 20 veículos. Calcule o custo total mínimo
.
(c) Interprete as implicações da tecnologia de proporções fixas na gestão da produção. Discuta a limitação de substituição entre capital
e trabalho
e o surgimento de gargalos.
(a) Represente graficamente a isoquanta correspondente ao nível de produção
(b) Determine a combinação ótima de insumos
(c) Interprete as implicações da tecnologia de proporções fixas na gestão da produção. Discuta a limitação de substituição entre capital
Passo 1
O enunciado dá uma função de produção de proporções fixas e pede três coisas. Vou listar com clareza o que foi pedido e os dados fornecidos.
-
O enunciado pede:
(a) representar graficamente a isoquanta parae indicar as coordenadas do vértice (combinação eficiente);
(b) encontrar a combinação ótima de insumosque minimiza o custo para produzir e calcular o custo total mínimo ;
(c) interpretar as implicações gerenciais da tecnologia de proporções fixas, discutir a limitação de substituição entree e o surgimento de gargalos. -
Dados numéricos dados no enunciado (pego do enunciado):
- Função de produção:
- Custo por robô (capital):
- Custo por operador (trabalho):
- Meta de produção:
veículos por mês.
- Função de produção:
Passo 2
Entendendo geometricamente a isoquanta para uma função Leontief do tipo dado.
- A isoquanta para um nível de produção
é o conjunto de pares tais que . - Isso significa que, para
, precisamos ter simultaneamente e , com pelo menos um deles igual a . Em palavras: ambos os insumos não podem ser menores que o necessário, e a produção é limitada pelo insumo que está no gargalo (o menor dos dois termos). - Para o caso particular
, as condições ficam: com pelo menos uma igualdade ( ou ).
Passo 3
Desenhando (descrever) a isoquanta
e identificando o vértice eficiente.
- Em um gráfico com o eixo horizontal representando
(número de robôs) e o eixo vertical representando (número de operadores): - Todos os pares
que satisfazem formam uma curva em “L” (ângulo reto) com vértice no ponto em que as duas condições se igualam. - A parte horizontal do “L” é a reta
para (ou seja, combinar mais robôs que mantendo mantém igual a porque ). - A parte vertical do “L” é a reta
para (ou seja, combinar mais operadores que mantendo mantém igual a porque ).
- Todos os pares
- O vértice (a combinação sem desperdício, onde nenhum insumo está sobrando) é o ponto em que
e . Para o vértice é: - Observação intuitiva: qualquer ponto na isoquanta fora do vértice tem excesso de um insumo (um insumo fica ocioso) e portanto é ineficiente do ponto de vista da combinação de insumos.
Passo 4
Construindo o problema de minimização de custo e raciocínio para solução.
- O custo total mensal é dado por:
Aqui é o custo por unidade de e é o custo por unidade de . - A restrição de tecnologia para produzir
é . Equivalente e mais simples para minimização de custo: exigir simultaneamente pois se qualquer um for menor que isso a produção ficará abaixo de . - Em problemas com tecnologia de proporções fixas (Leontief), não há substituição entre insumos: não adianta reduzir um insumo e aumentar o outro para manter a produção — é preciso respeitar a proporção fixa. Portanto o custo mínimo ocorre quando não há excesso de nenhum insumo, isto é, nas igualdades:
Qualquer excesso em ou em aumentaria o custo sem aumentar a produção acima de , então não é ótimo.
Passo 5
Cálculo do custo total mínimo
usando a combinação eficiente.
- Substituindo
e na função de custo: - Agora calcular numericamente com os preços dados (peguei os preços do enunciado):
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 6
Interpretação didática e implicações gerenciais da tecnologia de proporções fixas (resposta à parte (c)).
- Substituição entre insumos:
- Em tecnologia Leontief (proporções fixas) não existe substituição contínua entre
e . A produção exige uma proporção fixa: aqui exatamente na combinação sem desperdício. Isso quer dizer que aumentar não compensa reduzir e vice-versa — rendimentos marginais de um insumo são inúteis se o outro faltar.
- Em tecnologia Leontief (proporções fixas) não existe substituição contínua entre
- Gargalos e limitação:
- A produção é limitada pelo insumo mais escasso em relação à proporção exigida. Se há menos robôs que o necessário (
), a produção será (menor que a meta), mesmo que haja muitos operadores. - Da mesma forma, se faltar operadores tal que
, a produção será e os robôs ficarão ociosos.
- A produção é limitada pelo insumo mais escasso em relação à proporção exigida. Se há menos robôs que o necessário (
- Consequências gerenciais práticas:
- Rigor no balanceamento de capacidade: planejar compras de robôs e contratação/treinamento de operadores para manter a razão
evita recursos ociosos e excesso de custo. - Rigidez e risco: falta de flexibilidade tecnológica — se demanda muda, não é possível ajustar combinando mais de um insumo no lugar de outro; isso aumenta risco operacional.
- Gargalos operacionais: pequenos atrasos ou faltas em um insumo travam toda a produção; gestão de estoque de mão de obra, redundância de máquinas e manutenção preventiva tornam-se cruciais.
- Decisão de investimento em flexibilidade: pode valer a pena investir em tecnologia mais flexível (que permita alguma substituição) se a incerteza de demanda ou de custos de insumos for alta.
- Rigor no balanceamento de capacidade: planejar compras de robôs e contratação/treinamento de operadores para manter a razão
- Exemplo concreto e intuição: ter
e produz apenas veículos porque ; os robôs extras ficam subutilizados e aumentam custos sem aumentar produção — por isso o ponto é o ótimo de custo.
Resposta
(a) A isoquanta
é um “L” com vértice em
; as duas pernas são
para
e
para
.
(b) por mês.
(c) Tecnologia de proporções fixas implica ausência de substituição entre e
; é necessário manter a razão fixa
para evitar ociosidade; isso gera rigidez operacional e risco de gargalos (o insumo mais escasso limita a produção).
(b)
(c) Tecnologia de proporções fixas implica ausência de substituição entre