where , describe the line segment that joins the points and .
(b) Find parametric equations to represent the line segment from to .
Passo 1
O enunciado faz parte de Geometria Analítica e pede duas coisas:
– (a) mostrar que as equações paramétricas
com , realmente descrevem o segmento de reta que une a ;
– (b) usar esse mesmo modelo para achar as equações paramétricas do segmento de a .
Passo 2
Vamos verificar os extremos do parâmetro. Se ,
logo obtemos . Se ,
logo obtemos . Para , cada ponto é
uma combinação convexa de e , isto é, um ponto entre eles.
Passo 3
Podemos ver que o vetor posição de é
ou seja, P1P(t)=t,P1P2. Isso mostra que P(t) anda na direção de P2 a partir de P1. Como t varia de 0 a 1, o ponto vai exatamente ao longo do segmento com extremidades em P1 e P2.
Passo 4
Concluímos, portanto, que as fórmulas paramétricas dadas descrevem precisamente o segmento de reta entre P1(x1,y1) e P2(x2,y2).
Passo 5
Para o caso específico P1=(-2,7) e P2=(3,-1), o vetor direção é
P1P2 = (3-(-2),,-1-7) = (5,,-8)
Logo as equações paramétricas são
x = -2 + 5,t, y = 7 - 8,t, 0 <= t <= 1
Resposta
(a) Porque em t=0 e t=1 obtemos os extremos P1 e P2, e para 0<t<1 obtemos todas as combinações convexas, ou seja, o segmento de reta entre eles.
(b)