a) Show that the parametric equations
x=x1+(x2-x1) t y=y1+(y2-y1) t
where 0 <= t <= 1, describe the line segment that joins the points P1(x1, y1) and P2(x2, y2).
(b) Find parametric equations to represent the line segment from (-2,7) to (3,-1).

Passo 1

O enunciado faz parte de Geometria Analítica e pede duas coisas:
– (a) mostrar que as equações paramétricas
x = x1 + l(x2-x1r),t, y = y1 + l(y2-y1r),t,
com 0<= t<=1, realmente descrevem o segmento de reta que une P1(x1,y1) a P2(x2,y2);
– (b) usar esse mesmo modelo para achar as equações paramétricas do segmento de (-2,7) a (3,-1).

Passo 2

Vamos verificar os extremos do parâmetro. Se t=0,
x = x1 + (x2-x1)cdot0 = x1, y = y1 + (y2-y1)cdot0 = y1,
logo obtemos P1(x1,y1). Se t=1,
x = x1 + (x2-x1)cdot1 = x2, y = y1 + (y2-y1)cdot1 = y2,
logo obtemos P2(x2,y2). Para 0<t<1, cada ponto é
uma combinação convexa de P1 e P2, isto é, um ponto entre eles.

Passo 3

Podemos ver que o vetor posição de P(t) é
OP(t) = OP1 + t,l(OP2-OP1r),
ou seja, P1P(t)=t,P1P2. Isso mostra que P(t) anda na direção de P2 a partir de P1. Como t varia de 0 a 1, o ponto vai exatamente ao longo do segmento com extremidades em P1 e P2.

Passo 4

Concluímos, portanto, que as fórmulas paramétricas dadas descrevem precisamente o segmento de reta entre P1(x1,y1) e P2(x2,y2).

Passo 5

Para o caso específico P1=(-2,7) e P2=(3,-1), o vetor direção é
P1P2 = (3-(-2),,-1-7) = (5,,-8)
Logo as equações paramétricas são
x = -2 + 5,t, y = 7 - 8,t, 0 <= t <= 1

Resposta

(a) Porque em t=0 e t=1 obtemos os extremos P1 e P2, e para 0<t<1 obtemos todas as combinações convexas, ou seja, o segmento de reta entre eles.
(b)
x = -2 + 5,t, y = 7 - 8,t, 0 <= t <= 1

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