Describe the motion of a particle with position (x, y) as t varies in the given interval.
x=2 sin t, y=4+cos t, 0 <= t <= 3 pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo t por
x=2sin t, y=4+cos t, 0<= t<= tfrac3pi2
O conteúdo aqui é curva paramétrica em R^2: vamos eliminar o parâmetro para identificar a forma geométrica (elipse) e depois analisar pontos marcantes para descrever o sentido e o trecho percorrido.

Passo 2

Eliminamos t usando as identidades
sin t = x2, cos t = y-4
Como sin^2t+cos^2t=1, obtemos
l(x2r)^2 + (y-4)^2 = 1
Isto mostra que a partícula se move sobre a elipse de centro (0,4), semi-eixo horizontal 2 e vertical 1.

Passo 3

Vamos achar pontos-chave correspondentes a valores de t:
  • Em t=0: x=2sin0=0, y=4+cos0=5 Rightarrow (0,5)
  • Em t=tfracpi2: x=2sin!tfracpi2=2, y=4+cos!tfracpi2=4 Rightarrow (2,4)
  • Em t=pi: x=2sinpi=0, y=4+cospi=3 Rightarrow (0,3)
  • Em t=tfrac3pi2: x=2sin!tfrac3pi2=-2, y=4+cos!tfrac3pi2=4 Rightarrow (-2,4)

Passo 4

Observando a sequência (0,5)to(2,4)to(0,3)to(-2,4) conforme t cresce, a partícula vai do ponto mais alto da elipse para a direita, depois para o ponto mais baixo e enfim para o lado esquerdo. Isso caracteriza um movimento horário.
O parâmetro t varia de 0 até tfrac3pi2, ou seja, percorre 270^circ da elipse, isto é, três quartos de volta no sentido horário, começando em (0,5) e terminando em (-2,4).

Resposta

A partícula descreve três quartos de volta da elipse
x^24 + (y-4)^2 = 1,
iniciando em (0,5), terminando em (-2,4) e movendo-se no sentido horário.

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