Si y^prime=y^2-1, demostrar
Explicar porqué y=-1 es solución singular.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ e precisamos demonstrar por que $ y = -1 $ é uma solução singular. Isso envolve entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais, especialmente as soluções singulares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e entender o conceito de soluções gerais e singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos separar $ y $ e $ x $:
y' = y^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo é uma fração que pode ser decomposta usando frações parciais:
integral dyy^2 - 1 = integral 1(y - 1)(y + 1) dy
Podemos escrever isso como:
12 ln|y - 1y + 1| = x + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para $ y $ em termos de $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
y
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
x
onde $ C = e^{2C} $ é uma nova constante.

Passo 5

Resolvendo para $ y $:
y
Multiplicando ambos os lados por $ y + 1 $:
y - 1y + 1 = Ce^2x
Distribuindo:
y + 1
Isolando os termos com $ y $:
y - 1 = Ce^2x(y + 1)
Fatorando $ y $:
y - 1 = Ce^2x y + Ce^2x
Finalmente, isolando $ y $:
y
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos analisar por que $ y = -1 $ é uma solução singular. Uma solução singular não pode ser obtida atribuindo um valor específico à constante $ C $ na solução geral. Vamos tentar ver se conseguimos encontrar um $ C $ que faça $ y = -1 $.
Substituindo $ y = -1 $ na solução geral:
y = -1
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - Ce^{2x} $:
C
Simplificando:
C
Subtraindo $ Ce^{2x} $ de ambos os lados:
y = -1
Isso é um absurdo! Não existe valor de $ C $ que satisfaça essa equação. Portanto, $ y = -1 $ não faz parte da solução geral e é, portanto, uma solução singular.

Resposta

Concluímos que $ y = -1 $ é uma solução singular da equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ porque não pode ser obtida a partir da solução geral, ou seja, não existe um valor da constante $ C $ que faça $ y = -1 $ satisfazer a solução geral.

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