Si
, demostrar
Explicar porqué
es solución singular.
Explicar porqué
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ e precisamos demonstrar por que $ y = -1 $ é uma solução singular. Isso envolve entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais, especialmente as soluções singulares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e entender o conceito de soluções gerais e singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos separar $ y $ e $ x $:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo é uma fração que pode ser decomposta usando frações parciais:
Podemos escrever isso como:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para $ y $ em termos de $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde $ C = e^{2C} $ é uma nova constante.
Passo 5
Resolvendo para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ y + 1 $:
Distribuindo:
Isolando os termos com $ y $:
Fatorando $ y $:
Finalmente, isolando $ y $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos analisar por que $ y = -1 $ é uma solução singular. Uma solução singular não pode ser obtida atribuindo um valor específico à constante $ C $ na solução geral. Vamos tentar ver se conseguimos encontrar um $ C $ que faça $ y = -1 $.
Substituindo $ y = -1 $ na solução geral:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - Ce^{2x} $:
Simplificando:
Subtraindo $ Ce^{2x} $ de ambos os lados:
Isso é um absurdo! Não existe valor de $ C $ que satisfaça essa equação. Portanto, $ y = -1 $ não faz parte da solução geral e é, portanto, uma solução singular.
Resposta
Concluímos que $ y = -1 $ é uma solução singular da equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ porque não pode ser obtida a partir da solução geral, ou seja, não existe um valor da constante $ C $ que faça $ y = -1 $ satisfazer a solução geral.