Si
, demostrar
es solución general.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde conseguimos separar as partes com $ y $ e $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que $ y’ $ é igual a $ \frac{dy}{dx} $. Então, substituindo, temos:
Esse tipo de equação é chamada de separável porque podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para lados opostos da equação.
Passo 4
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ \frac{dx}{\sqrt{y}} $:
Agora, temos todos os termos com $ y $ de um lado e com $ x $ do outro.
Passo 5
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{y}} $ em relação a $ y $ é $ 2\sqrt{y} $. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $. Então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para $ \sqrt{y} $ dividindo ambos os lados por 2:
Como $ \frac{C}{2} $ ainda é uma constante, podemos renomear para apenas $ C $:
Agora, para encontrar $ y $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: