Si y^prime-x y^12=0, demostrar
y=(x^24+C)^2 es solución general.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
y' - x raizy = 0
Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação é:
y = (x^24 + C)^2
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde conseguimos separar as partes com $ y $ e $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
y'
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que $ y’ $ é igual a $ \frac{dy}{dx} $. Então, substituindo, temos:
y'
Esse tipo de equação é chamada de separável porque podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para lados opostos da equação.

Passo 4

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ \frac{dx}{\sqrt{y}} $:
dxraizy
Agora, temos todos os termos com $ y $ de um lado e com $ x $ do outro.

Passo 5

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
integral dyraizy = integral x , dx
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{y}} $ em relação a $ y $ é $ 2\sqrt{y} $. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $. Então:
1raizy
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para $ \sqrt{y} $ dividindo ambos os lados por 2:
raizy
Como $ \frac{C}{2} $ ainda é uma constante, podemos renomear para apenas $ C $:
raizy = x^24 + C2
Agora, para encontrar $ y $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
C2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (x^24 + C)^2

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